递归
定义 ：定义一个函数时出现调用本函数的成分，称之为递归
- 直接递归，自己调自己
- 间接递归，函数p调函数q，q又调用p
- 尾递归，递归函数中，递归调用语句是最后一句
递归应满足的条件 ：
-
需要解决的问题可以转化为一个或多个子问题来求解，而这些子问题的求解方法和原问题完全相同，只是在数量规模上不同
-
递归次数必须是有限的
-
必须是有结束递归的条件来终止递归 示例:
// 1.求阶乘问题，2.递归的次数是 n
int fun(int n){
if(n==1) //3. 当满足条件时，递归终止
return 1;
else
return (fun(n-1)*n); //递归调用
}
//因为fun函数是自己调自己所以称之为 直接递归
//又因为递归调用是最后一条语句所以又称为 尾递归
递归存在的问题：
- 耗费时间和空间，因为每次函数调用需要时间，每一次调用都需要为其开辟一个内存栈用来保留不同的参数，返回地址，临时变量，压栈出栈也需要时间
- 可能会存在重复计算 比如斐波那契列数列
- 栈内存可能会溢出
递推（迭代 ）
定义：广义来说，凡是在某一算式的基础上从已知的值推出来未知的值，都可以称为递推（说白了 就是找规律）
常见的递归和递推问题
- 求阶乘问题（递归、递推）
// 递归
int fun(int n){
if(n==1)
return 1;
else
return (fun(n-1)*n);
}
// 递推
int n,s=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
s=s*i;
}
- 斐波那契数列（递归、递推）
fib(n)=1 n=1
fib(n)=2 n=1
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)
例如：1、1、2、3、5、8、13、21......
// 递归
int Fib(int n){
if(n==1 || n==2)
return 1;
else
return (Fib(n-1)+Fib(n-2));
}
// 递推 求第七项值
int a=1,b=1,c,n=7;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(i<=2)
c=1;
else{
c=a+b;
a=b;
b=c;
}
}
printf("%d",c);
- 汉诺塔问题
- n皇后问题
- 捕鱼问题（递推）
A，B，C，D，E五个渔夫夜间合伙捕鱼，,第二天A先醒来，他把鱼均分五份，把多余的一条扔回湖中，便拿了自己的一份回家了，B醒来后，也把鱼均分五份，把多余的一条扔回湖中，便拿了自己的一份回家了，C,D,E也按同样方法分鱼。问5人至少捕到多少条鱼？
- 第一种思路：逆推
假如A醒来鱼的总数=5n1+1
那么第B醒来鱼的总数为 4n = 5* n2+1
设当前鱼的总数为 Sn 那么上一次鱼的总数 S(n+1)=Sn/4*5+1 - 第二种：假如多给四条鱼那么就不用仍了，设总数为 x
A走之后剩下的鱼 x * 4/5
B走之后剩下的鱼 x * 4/5* 4/5
C走之后剩下的鱼 x * 4/5 * 4/5 * 4/5
D走之后剩下的鱼 x * 4/5 * 4/5 * 4/5 * 4/5
E走之后剩下的鱼 x * 4/5 * 4/5 * 4/5 * 4/5 * 4/5=x*1024/3125
鱼一定是整数 所以 x = 3125
减去多给的四条 所以鱼最少为 3121
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
int f[5],flag=1,n=1;
while(flag==1){
f[0]=5*n+1; //第一次执行是 E醒来鱼的条数
flag=0;
for(int i=1;i<5;i++){
if(f[i-1]%4!=0){ //只有A醒来鱼的总数不是4的倍数，其他人必须都是
flag=1;
break;
}
f[i]=5*f[i-1]/4+1; // 上一个人鱼的总数
}
n++; //试找满足条件的n
}
cout<<f[4];
return 0;
}
- 平面分割（递推）
在平面上画n>0条封闭的曲线，各曲线之间两两相交于两点，并且任意三条封闭的曲线都不相交于一点，求这样的n条曲线将平面分成多少个区域？
| 曲线数n | 区域数 |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 8 |
| 4 | 14 |
| 5 | 22 |
| 规律： | 2+n*(n-1) |
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
int n,Sn;
while(1){
cin>>n;
if(n==0){
cout<<"输入有误";
break;
}
Sn=n*(n-1);
cout<<2+Sn<<endl;
}
}
- 杨辉三角取值问题（递推）
输入：输入n、m代表取的第几行第几列 （n>=m、n>0 m>0）
杨辉三角的性质：第n行第m列的值为 C(n-1)(m-1) 即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。
// 取值问题
include<iostream>
using namespace std;
int f(int n){
int s=1;
if(n==0)
return 1;
for(int i=1;i<=n;i++){
s=s*i;
}
return s;
}
int main(){
int n,m;
cout<<"请输出你要取杨辉三角第n行m列的值(n>=m)"<<endl;
cin>>n>>m;
if(n<m){
cout<<"输入异常";
return -1;
}
else{
int a=f(n-1),b=f(n-m)*f(m-1);
cout<<a/b;
}
}
// 杨辉三角打印问题
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
int n;
cout<<"请输入杨辉三角的行数：";
cin>>n;
int a[100][100];
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=0;j<n;j++){
if(j==0)
a[i][j]=1;
if(i==j){
a[i][j]=1;
break;
}
if(i>=2&&i!=j&&j!=0){
a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j];
}
}
}
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++){
if(i==j){
cout<<a[i][j]<<endl;
break;
}
cout<<a[i][j]<<" ";
}
}
- 回文字符串判断（递归、递推）
回文字符串就是正读倒读都一样的字符串。如”98789”, “abccba”都是回文字符串
// 递归
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
int check(string s){
int start=0;
int end=s.length()-1;
if(start<=end){
if(s.at(start)!=s.at(end)){
return 0;
}else{
return check(s.substr(start+1,end-1));
}
}else{
return 1;
}
}
int main(){
string s;
cin>>s;
if(check(s))
cout<<"YES";
else
cout<<"NO";
return 0;
}
// 递推while循环判断
while(end>=start){
if(s.at(start)!=s.at(end)){
return 0;
}
else{
start++;
end--;
}
return 1;
}
- 字符全排
