高等数学——导数的定义和常见导数导数是微积分也是高数当中很重要的一个部分，不过很遗憾的是，和导数相关的部分很多同学都是高

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导数是微积分也是高数当中很重要的一个部分，不过很遗憾的是，和导数相关的部分很多同学都是高中的时候学的。经过了这么多年，可能都差不多还给老师了。所以今天的文章就一起来温习一下导数的相关知识，捡一捡之前忘记的内容。

函数切线

关于导数，最经典的解释可能就是切线模型了。以前高中的时候，经常对二次函数求切线，后来学了微积分之后明白了，所谓的求切线其实就是求导。

比如当下，我们有一个光滑的函数曲线 $y=f(x)$ ，我们想要求出这个曲线在某个点 $M$ 的切线，那么应该怎么操作呢？

如上图所示，我们可以在选择另外一个点N，然后做MN的割线。假设T是M的真实的切线，当我们将N向M无限逼近的时候， $\angle NMT$ 在无限缩小，直到趋近与0，而此时的割线MN也就无限逼近于M点真实的切线T。

在图中，MN的斜率表示为 $\tan\phi$ ，其中 $\tan\phi=\frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}$ .

当N逼近于M时：

\displaystyle\tan\phi= \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

我们令 $\Delta x = x - x_0$ ，所以：

\displaystyle\tan\phi=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

此时 $\tan\phi$ 的结果就是函数在 $x_0$ 处导数的值，上面这个方法大家应该也都不陌生，在物理课上就经常见到，只不过在物理当中不叫极限也不叫逼近，称为换元法。但不管叫什么，意思是一样的。我们理解了上面这些式子之后，再来看看导数真正的定义。

定义

假设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的邻域内有定义，当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量 $\Delta x$ ( $x_0 + \Delta x$ 仍然在 $x_0$ 的邻域内)，相应的函数取得增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x) - f(x_0)$ 。如果 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 在 $\Delta x \to 0$ 时的极限存在，称为函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导。它的导数写成 $f'(x_0)$

\displaystyle f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

$f'(x_0)$ 也可以记成 $\displaystyle\frac{dy}{dx}$ ，或者 $\displaystyle\frac{df(x)}{dx}$ 。

如果函数 $y=f(x)$ 在开区间 $I$ 内可导，说明对于任意 $x \in I$ ，都存在一个确定的导数值。所以我们就得到了一个新的函数，这个函数称为是原函数 $f(x)$ 的导函数，记作 $f'(x)$ 。

不可导的情况

介绍完了常见函数的导函数之后，我们来看下导数不存在的情况。

导数的本质是极限，根据极限的定义，如果 $\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)=a$ 。那么，对于某个正数 $\epsilon$ ，对于任何正数 $\delta$ ，都有 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时， $|f(x) - a| \geq \epsilon$ 。那么就称为 $x \to x_0$ 时， $f(x)$ 的极限是a。