循环不变式

循环不变式

循环不变式主要用来帮助理解算法的正确性。对于循环不变式，必须证明它的三个性质：

• 初始化：在循环开始第一轮迭代时，循环不变式为真。
• 保持：如果在某次循环开始迭代之前循环不变式为真，那么在下一次迭代之前，循环不变式也为真
• 终止：当头两个性质满足时，就能保证循环在每一次开始之前，不变式都为真。因此我们可以利用这个性质来验证我们算法的正确性。

其实循环不变式就类似与数学归纳法。证明初始化性质满足就类似于归纳法中对基本情况的证明，对于保持性质的证明，就好像归纳法中归纳步骤的证明，只不过数学归纳法中归纳步骤是无穷的的，而我们的算法是需要适时终止归纳，否则没有意义。

举个栗子

斐波那契数列

int fib(x) {
    // 循环不变式为a==fib(i)&&b==fib(i+1)
    int a = 0, b = 1, tmp;
    // 初始化：迭代开始之前a==0==fib(0)&&b==1==fib(1)，循环不变式为真。
    for (int i = 0; i < x; i++){
        // 假设某次迭代开始之前a==fib(i)&&b==fib(i+1)为真
        tmp = a;
        // a变为fib(i+1)
        a = b;
        // b变为fib(i+1)+fib(i)=fib(i+2)
        b = tmp + b;
        // 保持：循环结束时，即下次迭代开始时即i变为i+1，a==fib(i+1)&&b==fib(i+2)，因此循环不变式依然为真
    }
    // 终止：由与初始化和保持都满足，因此终止时不变式依然为真，此时i==x，即a==fib(x)，结果正确因此算法正确。
    return a;
}