从数组中找出N个数,其和为M的所有可能

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问题 (采用二进制正序表示法)

从一个数组中找出N个数,其和为M的所有可能。

eg: 从数组 [1, 2, 3, 4] 中选取 2 个元素,求和为 5 的所有可能。结果可知为 [1, 4] 和 [2, 3].

假设封装函数为 'search':

function search (arr, count, sum) {
    ...
    return res
}

则有,

search([1, 2, 3, 4], 2, 5)
// => [[1, 4], [2, 5]]

实现思路

总体思路: 根据数组长度构建二进制数据,再选择其中满足条件的数据。

我们用 1 和 0 来表示数组中的某位元素是否选中。因此,可以用 0110 来表示数组中第 1 位和 第 2 位 被选中了。

下面列一下长度为 4 的所有二进制数据表示情况:

  • 0000 表示没有选择数组中的任何元素
  • 0001 表示选择了数组中第 3 位元素
  • 0010 表示选择了数组中第 2 位元素
  • 0011 表示选择了数组中第 2、3位元素
  • 0100 表示选择了数组中第 1 位元素
  • 0101 表示选择了数组中第 1、3 位元素
  • 0110 表示选择了数组中第 1、2 位元素
  • 0111 表示选择了数组中第 1、2、3 位元素
  • 1000 表示选择了数组中第 0 位元素
  • 1001 表示选择了数组中第 0、3 位元素
  • 1010 表示选择了数组中第 0、2 位元素
  • 1011 表示选择了数组中第 0、2、3 位元素
  • 1100 表示选择了数组中第 0、1 位元素
  • 1101 表示选择了数组中第 0、1、3 位元素
  • 1110 表示选择了数组中第 0、1、2 位元素
  • 1111 表示选择了数组中所有位元素

那么开篇数组,满足条件的二进制(存在两个1)有 0011、0101、0110、1001、1010、1100 六种可能。而符合对应元素之和为 5 的只有 0110 和 1001.

思路就是构建了所有长度为 4 的二进制,再找到符合条件的二进制。

题目的条件有两个。

  • 被选中的个数是 2.
  • 被选中的和是 5.

遍历所有的二进制,判断选中的个数是否为 2,然后再求对应的元素之和是否为 5.

参考JS 的位运算

第一个问题,如何遍历所有二进制数据?

数组长度为 4,对应16, 即 1 << 4。

注意 1 << 31 为-2147483648,可以使用Math.pow(2, 31)来代替

第二个问题,如何求取被选中的元素的个数呢?即求取二进制字符串中 1 的个数?

  • 实现方式一:
const n = num => num.toString(2).replace(/0/g, '').length

// console.log(n(3)); // 2    3的二进制: 0011

num.toString(2) 将 num 装换成二进制

  • 实现方式二:
function search(i) {
   let count = 0
   while(i) {
    //  i & 1  与运算 结果为 二进制中含有 1 的
     if (i & 1) {
      ++count
     }
    //  位运算 - 右移一位
     i >>= 1;
   }
   return count
 }
 // console.log(search(0b1010)); // 2

上述算法的思路其实很简单,将二进制逐步右移 1 位,看看末尾为 1 的个数。比如 10 的二进制是 1010,逐步右移的所有可能是 1010->101->10->1->0,其中有 2 次末尾是 1。因此结果是 2。

第三个问题,如何根据二进制数据来求和?

比如 0110, 应该求和 arr[1] + arr[2].

问题转化成了如何判断数组下标是否在 0110 中呢?

分析: 0110,我们把 1 一次左移 << (0,1, 2, 3)次,即对应 arr 数组的下标。然后一次判断:

1 << 0 => 0001

1 << 1 => 0010

1<< 2 => 0100

1<< 3 => 1000

然后依次 & 运算。

0110 & 0001 => 0

0110 * 0010 => 0010 => 2

0110 * 0100 => 0100 => 3

0110 * 1000 => 0 => 0

所以拿到对应的下标 arr[1] = 2, arr[2] = 3

实现:

var arr = [1,2,3,4]
var s = 0, temp = [], len = arr.length;
for (var i = 0,; i < len; i++) {
  if ( 0b0110 & 1 << (len - 1 - i)) {
	s += arr[i]
	temp.push(arr[i])
  }
}
console.log(temp)
// => [2,3]

最终实现

function search(arr, count, sum) {
  var len = arr.length, res = [];
  for (var i = 0; i < Math.pow(2, len); i++) {
	if (n(i) == count) {
	  var s = 0, temp = [];
	  for (var j = 0; j < len; j++) {
		if (i & 1 << (len - 1 -j)) {
		  s += arr[j]
		  temp.push(arr[j])
		}
	  }
	  if (s == sum) {
		res.push(temp)
	  }
	}
  }
  return res;
}

function n(i) {
  var count = 0;
  while( i ) {
   if(i & 1){
    ++count;
   }
   i >>= 1;
  }
  return count;
}

console.log(search([1,2,3,4],2,5))
// => [[2,3],[1,4]]

时间复杂度 2^n 指数增加🙀