线性代数笔记

2019-12-11 218 阅读1分钟

线性代数

矩阵

矩阵的乘法

$C_{ij}=\sum_{k=1}^Na_{ik}b_{kj}$

矩阵的三则运算性质

交换律 A+B=B+A
结合律
分配律

矩阵的转置性质

$(A^T)^T=A$
$(kA)^T=kA^T$
$(A+B)^T=A^T+B^T$
$(AB)^T=B^TA^T$

矩阵对应行列式的性质

矩阵对应的行列式 $\vert{A}\vert$
矩阵取行列式的性质

A,B为同阶方阵，则 $\vert{AB}\vert=\vert{A}\vert\vert{B}\vert$
$\vert{kA}\vert=k^n\vert{A}\vert$
$\vert{A^T}\vert=\vert{A}\vert$
$\vert{A^*}\vert=\vert{A}\vert^{(n-1)}$
设A可逆，则 $\vert{A^{-1}}\vert=\frac{1}{\vert{A}\vert}$

逆矩阵

定义AB=BA=E,则A可逆， $B=A^{-1}$
矩阵可逆的充分必要条件 $\frac{1}{\vert{A}\vert}\neq0$ ###逆矩阵的求法

伴随矩阵法

A^{-1}=\frac{1}{\vert{A}\vert}A^*

初等行变换

\begin{pmatrix}A\vert{E}\end{pmatrix}->行变换\begin{pmatrix}E\vert{A^{-1}}\end{pmatrix}

初等行变换的个问题

任何一个可逆的矩阵总可以通过有限次初等行变换转化为E。
A为N阶不可逆矩阵，不一定可以通过有限次行变换化为 $\begin{pmatrix} {E}{0}\\ {0}{0}\\ \end{pmatrix}$ 可以通过初等变化转化 ###逆矩阵的性质 1. $(A^{-1})^{-1}=A$ 2. $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$ 3. $(AB)^{-1}$ = $B^{-1}$ $A^{-1}$

$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$
$\begin{pmatrix} {A_1} &&{0}\\ {0}&& {A_2}\\ \end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} {A_1^{-1}}&&{0}\\ {0}&&{A_2^{-1}}\\ \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} {0} &&{A}\\ {B} &&{0}\\ \end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} {0}&&{B^{-1}}\\ {A^{-1}}&&{0}\\ \end{pmatrix}$