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介绍
前一阵我搜索“最有效率的检查正则表达式的方式”，找到了如下这段代码。
public static boolean isPrime(int n) {
return !new String(new char[n]).matches(".?|(..+?)\\1+");
}
我被吸引住了。虽然这可能不是效率最高的，但肯定是最难懂的之一，这勾起了我的好奇心。究竟为什么匹配.?|(..+?)\1+就能判断一个数不是素数呢？
如果感兴趣的话可以继续往下看，我会详细分析这个正则表达式并解释内部原理。这个解释应该是不与编程语言相关的，但是我会提供上述代码的 Python 和 JavaScript 版本并解释它们之间的细微差别。
我会解释^.?$|^(..+?)\1+$是如何筛出素数的，为什么要这样写而不是.?|(..+?)\1+（就是上面 Java 的写法）？这与 String.matches() 的工作原理有关，稍后解释。
虽然关于此主题也有一些人写过博客，但是他们都不够深入，没有充分解释重要细节。我希望本文可以让任何人都能理解——不论是正则表达式专家还是新手。
正则表达式
首先给出一些定义，熟悉正则表达式的读者可以略过此节。
好的，现在让我们谈谈正则表达式（也就是 regex）语法。有很多正则表达式风格，我不会专注于任何特定的风格，因为这不是本文的重点。此处介绍的概念在所有最常见的风格中都以类似的方式工作。如果您想了解有关正则表达式的更多信息，请访问Regular-Expressions.info，它是学习正则表达式并稍后用作参考的绝佳资源。
这是一份备忘单，其中包含以下解释所需的概念：
^-匹配字符串中第一个字符之前的位置$-匹配字符串中最后一个字符之后的位置.-匹配除换行符以外的任何字符|-匹配左侧或右侧的所有内容，可以视为or运算符。(和)界定捕获组。通过将正则表达式的一部分放在括号之间，可以将正则表达式的该部分组合在一起。可以将量词（例如+）应用于整个组，或限定替换（即：|）到正则表达式的一部分。除此之外，括号还会创建一个编号的捕获组，以后可以使用后向引用来引用它。\ <number_here>-后向引用匹配捕获组先前匹配的文本。<number_here>是组号（上面说的括号创建了一个编号捕获组）。+-匹配前面的 token（例如，可以是一个字符或一组字符）一次或多次*-与前面的 token 匹配0次或多次?用在+或*量词之后，使该量词变成非贪婪。
译注：
?作为量词代表匹配0次或一次，即“可有可无”。
捕获组和后向引用
括号会创建编号捕获组，意思是使用括号时，可以创建一个与某些字符匹配的组，以后可以引用那些匹配的字符。数字以在正则表达式中出现的顺序从1开始分配给组。例如，假设有以下正则表达式：^aa(bb)cc(dd)$。在这种情况下，我们有2个组。
这如果要引用与(bb)匹配的内容，用\1。为了引用与(dd)匹配的字符，用\2。放在一起，正则表达式^aa(bb)cc(dd)\1$与字符串aabbccddbb匹配。\1表示与组(bb)相匹配的内容，在这种情况下，是字符串bb。
贪婪和非贪婪量词
+是贪婪量词，这意味着它将试图尽可能多地重复前面的token，即它将试图试消耗尽可能多的输入。*量词也是如此。
比如，我们有字符串<p>The Documentary</p> (2005)（译注：美国说唱歌手 Game 的一张专辑名）和正则表达式<.+>。匹配的字符串实际上是<p>The Documentary</p>。因为 +将试图消耗尽可能多的输入，因此这意味着它不会在第一个>停止，而是在最后一个>停止。
要使量词成为非贪婪，在其前面加一个问号。就这么简单。还是上面的字符串，但是这次我们只想匹配第一个<和>之间的内容，要如何处理？用<.+?>，它将使+量词变得非贪婪，意思是说它将使量词消耗尽可能少的输入。例子中，“尽可能小的”就是<p>，这正是我们想要的！确切地说，它将与两个 p 都匹配：<p>和</p>。
关于^和$的一点说明
注意，在上面的两个正则表达式（<.+>和<.+?>）中，我们都没有使用它们。这意味着什么？这意味着匹配不必从字符串的开头开始，也不必在字符串的结尾结束。以第二个非贪婪的正则表达式（<.+?>）和字符串The Game - <p>The Documentary</p> (2005)为例，我们仍然可以获得预期的匹配项（<p>和</p>），因为我们没有强迫它在字符串的开头开始并在字符串的结尾结束。
检验素数的正则表达式
终于来到重点了。
你可以忽略正则表达式中的?，这样写是出于性能考量的（稍后解释），它使+非贪婪。如果它让你感到困惑，请忽略它，除了速度较慢（有特例，当数字为素数时，?没有任何区别）没什么差别。
以下所有讨论均假定我们以一进制来表示数字。实际上并非一定要表示为1的序列，它可以是任何可以被.匹配的字符。也就是说 5 不必表示为11111，也可以表示为fffff或BBBBB之类的，只要五个相同字符就可以。
概览
^.?$|^(..+)\1+$正则表达式由两部分组成：^.?$和^(..+?)\1+$。
事先警告，我在接下来的段落中对于^(..+?)\1+$正则表达式的解释中撒了一点小谎，跟正则表达式引擎检查倍数的顺序有关，它实际上是从最高倍数开始到最低倍数，而不是我在这里解释的方式。但是可以放心忽略这种区别，因为正则表达式仍然匹配相同的字符串，只是步骤更多一些。之所以这样做，是因为我相信这种解释不太冗长，更容易理解。
正则表达式引擎将首先尝试匹配^.?$，然后，如果失败，它将尝试匹配^(..+?)\1+$。注意，匹配的字符数对应于匹配的数字，即如果匹配了3个字符，则表示匹配了数字3，如果匹配了26个字符，则表示匹配了数字26。
^.?$匹配具有零个或一个字符的字符串（分别对应于数字0和1）。
^(..+?)\1+$首先尝试匹配2个字符（对应于数字2），然后匹配4个字符（对应于数字4），然后匹配6个字符，再匹配8个字符，依此类推。基本上，它将尝试匹配2的倍数。如果失败，它将尝试首先匹配3个字符（对应于数字3），然后匹配6个字符（对应于数字6），然后匹配9个字符，再匹配12个字符，依此类推。这意味着它将尝试匹配3的倍数。如果失败，它将尝试匹配4的倍数，如果失败，它将尝试匹配5的倍数，依此类推，直到尝试匹配的倍数的数字是字符串的长度（失败的情况）或匹配成功（成功的情况）。
深入理解
正则表达式的字面含义：
^.?$或^(..+?)\1+$两者之一将被匹配- 匹配项必须在整个字符串上，即从字符串的开头开始，到字符串的结尾结束
1. ^.?$正则表达式如何工作
^.?$将匹配0或1个字符。如果满足以下条件，则匹配成功：
- 该字符串仅包含1个字符——这意味着我们正在处理数字1，根据定义，1不是素数。
- 该字符串包含0个字符（空字符串）——这意味着我们正在处理数字0，而0当然不是素数，因为我们可以将0除以我们任何数，当然除了0本身。
2. ^(..+?)\1+$正则表达式如何工作
^(..+?)\1+$将首先尝试匹配2的倍数，然后匹配3的倍数，然后匹配4的倍数……依此类推，直到它尝试的数字的倍数要匹配的是字符串的长度，或者匹配成功。
现在让我们关注括号，这里有(..+?)。请注意，这里有一个+，表示“一个或多个前面的token”。此正则表达式将首先尝试匹配(..)（2个字符），然后匹配(...)（3个字符），然后匹配(....)（4个字符）……依此类推，直到字符串的长度我们达到了匹配条件或匹配成功。
在匹配了一定数量的字符之后（让我们将其称为x），正则表达式将尝试查看字符串的长度是否为x的倍数。有一个向后引用：\1+。现在，如前所述，它将尝试重复捕获＃1组中的匹配一次或多次（实际上是“更多或一次”，这里撒了一点谎），这意味着首先，它将尝试匹配字符串中的x*2个字符，然后匹配x*3，然后匹配x*4……依此类推。如果在其中任何一项中能够匹配成功，它将返回（这意味着该数字不是素数）。如果失败（当x*<number>超过我们要匹配的字符串的长度时失败），它将尝试相同的操作，但是使用x+1个字符，即首先(x+1)*2，然后是(x+1)*3，然后是(x+1)*4……依此类推。当(..+?)匹配到的字符串长度达到整个字符串长度时，匹配过程将停止并返回失败。如果匹配成功，则将其返回。
关于?
好吧，我提到你可以忽略正则表达式中的?，因为它仅出于性能方面的考虑而存在，这是事实，我将在此解释它的实际作用。
?使前面的+非贪心。在实践中这是什么意思呢？假设我们的字符串是111111111111111（对应于数字15）。我们称L为字符串的长度，此处，L = 15。
当?存在时，+将尝试尽可能少地匹配其先前的token（在这种情况下为.）。这意味着正则表达式(..+?)会尝试匹配..，然后是...,然后是....……最后整个正则表达式将成功。注意，(..+?)中的步骤数为4（首先它匹配2，然后是3，然后是4，然后是5）。
如果我们省略了?，那么它将反过来：首先，它将尝试匹配...............（数字15 ，即我们的L），然后是..............（数字14，即L-1），依此类推，直到最后整个正则表达式将成功。请注意，即使结果与(..+?)中的结果相同，但在(..+)中步数为11而不是4。根据定义，L的任何除数都不得大于L/2（L / 2 = 15/2 = 7），因此，这意味有8步完全是浪费的，因为首先我们将可除性测试为15，然后是14，然后是13，依此类推，直到5。
惊天谎言
实际上我对于倍数的匹配的解释中撒了谎。还是以111111111111111为例。我说首先会测试除以2，然后是2*2，……,2*7，最后失败在2*8；然后测试除以3，最后在3*5时成功。这实际上是当正则表达式是^.?$|^(..+?)\1+?$时所做的事情（注意结尾的?，反向引用的+非贪婪）。
实际情况（^(..+?)\1+$）恰恰相反。仍然会先尝试测试2的可除性，但是并非尝试匹配2*2个字符，而是尝试匹配2*7，然后匹配2*6……然后是2*2，失败，然后再次尝试将运气除以3，首先尝试匹配3 * 5个字符，立即成功。
请注意，在第二种情况下（实际情况），所需步骤更少：第一种情况下需要11个步骤，而第二种情况下则需要7个步骤。虽然这两个版本结果，但本博客文章中介绍的版本效率更高。
Java 的情况
我说过，由于String.matches()在 Java 中工作的方式的特殊性，匹配非素数的正则表达式不是上面的代码示例中的正则表达式（.?|(..+?)\1+），实际上是^.?$|^(..+?)\1+$。因为String.matches()匹配整个字符串，而不是字符串的任何子字符串。基本上，它在本文中的正则表达式中“自动插入”了^和$。
如果你不想强制在 Java 中对整个字符串进行匹配，则可以使用Pattern，Matcher 和 Matcher.find()方法。
new String(new char [n])返回一个由n个空字符组成的String（正则表达式中的.与它们匹配）。
代码示例
Python
def is_prime(n):
return not re.match(r'^.?$|^(..+?)\1+$', '1'*n)
JavaScript(ES6)
function isPrime(n) {
var re = /^.?$|^(..+?)\1+$/;
return !re.test('1'.repeat(n));
}
String.prototype.repeat()是 ES6 的才能用的方法，如果想用老的 ES 版本：
function isPrime(n) {
var re = /^.?$|^(..+?)\1+$/;
return !re.test(Array(n+1).join('1'));
}
注意参数是n+1，因为实际上我们是在用1来插空，所以n+1个元素才有n个空。
结语
到此为止，希望这个正则表达式检验素数的原理之谜已经解开。记住这个方法效率很差，检验素数还有很多高效算法。但是无论如何，这个正则表达式很有趣。
我鼓励你去regex101这样的网站玩一玩，特别是如果你仍然不十分了解本文介绍的所有内容时，可以尝试一下。关于这个网站的一件很酷的事情是它包括了对正则表达式的解释（在右边的列），以及正则表达式引擎必须执行的步骤数（在修饰符框正上方的矩形），这是一个很好的选择在贪婪和非贪婪情况下查看性能差异（通过执行的步骤数）的方法。
