分治与递归

1 定义

• devide : devide the problem (instance)  into one or more subproblem;
• conquer: 步骤递归地求解出子问题。如果子问题的规模足够小，则停止递归， 直接求解
• combine:ombine:步骤将子问题组合成原问题的解

2 思想应用

• merge sort
• binary search
• pow
• fib(斐波那契问题)

3 fib

1 直接求解

• 利用递归终止的条件， fib(n) = fib(n-1)+fib(n-1);

2 利用数组记录fib从 1 到 n 的每种解法(动态规划)

public int fib(int n){
	int[] res = new int[n+1];
    int res[1] = 1, res[2] = 1;
    for(int  i = 3; i<= n; i++){
    	res[i] = res[i-1]+res[i-2];
    }
    return res[n];
}

3 利用矩阵

• 将n 分为[ [ n, n-1], [n-1, n-2] ];

2 递归

1 基本思想

• 递归是每个函数直接或间接的调用自身问题的求解过程
• 划分为许多相同性质的在子问题的求解
• 而小问题的求解过程可以容易的求出
• 这些子问题的解就构成原问题的解

2 总体思想

• 待求解问题的解 -> 输入变量下的函数f(x);
• 通过寻找函数g()， 使得发f(x) = g(f(x-1));
• 且已经知道发f(0), 就可以通过f(0)和 g()求出f(x)的值

public int  f(int x){
	if(x == 0)  f(x) == 0; // f(0)
    else x+f(x-1); // g()
}

int ans = 0
for(int i = 0; i<=x; i++){
	ans += i;
}

1 key

• 递归式： 如何将原问题划分为子问题
• 递归出口： 递归终止的条件， 即最小子问题的求解， 可以允许多个出口
• 界函数：  问题规模变化的函数， 它保证递归的规模向出口条件靠拢

3 递归 栈 循环

• 栈 是 递归实现的本质， 递归也可以用循环来实现

public int f(int x){
	if(x == 0) f(x) =1;
    else       x*f(x-1); 
}


public int loop(int n){
	int res = 1;
	for(int i =1; i<=n; i++){
		res *= i;
    	return res;
	}
}

4 递归与迭代

• 迭代是重复反馈过程的活动，其目的通常是为了接近并到达所需的目标或结果。每一次对过程的重复被称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会被用来作为下一次迭代的初始值。

这里是二分法解方程的递归和迭代算法的比较。

递归：
确定开区间左边界和右边界，(L, R)
若L + 1 >= R（即不包含整数点），表示序列中不存在f(x)
取中位 M = (L + R) / 2
若f(M) == y，返回M
否则根据f(M)和y的关系递归查找(L, M)或(M, R)


迭代：
确定边界(L, R)
while (L + 1 < R) / 区间中包含整点 /
求中位M = (L + R) / 2
若f(M)等于y，退出循环
根据f(M)与y的关系执行 L = M 或 R = M，进入下一轮循环

5 尾递归

• 尾递归和一般的递归不同在对内存的占用，普通递归创建stack累积而后计算收缩，尾递归只会占用恒量的内存（和迭代一样）。SICP中描述了一个内存占用曲线

public int tail(x, total){
	if( x == 0)  return total;
    else         tail(x-1, total+x);
}