一、B树（B-tree、B-树)
B树是一种平衡的多路搜索树，多用于文件系统、数据库的实现
- 仔细观察B树，有什么眼前一亮的特点？
- 1 个节点可以存储超过 2 个元素、可以拥有超过 2 个子节点
- 拥有二叉搜索树的一些性质
- 平衡，每个节点的所有子树高度一致
- 比较矮
二、m阶B树的性质（m≥2）
假设一个节点存储的元素个数为 x ┌x┐向上取整
- 根节点：1 ≤ x ≤ m − 1
- 非根节点：┌ m/2 ┐ − 1 ≤ x ≤ m − 1
➢ 比如 m = 3，1 ≤ x≤ 2， ➢ 比如 m = 4，1 ≤ x ≤ 3， ➢ 比如 m = 5，2 ≤ x ≤ 4， ➢ 比如 m = 6，2 ≤ x ≤5， ➢ 比如 m = 7，3≤ x ≤ 6， - 如果有子节点，子节点个数 y = x + 1
- 根节点：2 ≤ y ≤ m
- 非根节点：┌ m/2 ┐ ≤ y ≤ m
➢ 比如 m = 3，2 ≤ y ≤ 3，因此可以称为（2, 3）树、2-3树 ➢ 比如 m = 4，2 ≤ y ≤ 4，因此可以称为（2, 4）树、2-3-4树 ➢ 比如 m = 5，3 ≤ y ≤ 5，因此可以称为（3, 5）树
➢ 比如 m = 6，3 ≤ y ≤ 6，因此可以称为（3, 6）树 ➢ 比如 m = 7，4 ≤ y ≤ 7，因此可以称为（4, 7）树
思考：如果 m = 2，那B树是什么样子？
你猜数据库实现中一般用几阶B树？
200 ~ 300
三、B树 VS 二叉搜索树
B树 和 二叉搜索树，在逻辑上是等价的
-
多代节点合并，可以获得一个超级节点
-
2代合并的超级节点，最多拥有 4 个子节点（至少是 4阶B树）
-
3代合并的超级节点，最多拥有 8 个子节点（至少是 8阶B树）
-
n代合并的超级节点，最多拥有 2n个子节点（ 至少是 2n阶B树）
-
-
m阶B树，最多需要 log2m 代合并
1、搜索
跟二叉搜索树的搜索类似
2.如果命中，搜索结束
3.如果未命中，再去对应的子节点中搜索元素，重复步骤 1
2、添加
新添加的元素必定是添加到叶子节点
- 插入55
2.1、上溢
- 插入95
-
再插入 98 呢？（假设这是一棵 4阶B树）
最右下角的叶子节点的元素个数将超过限制
这种现象可以称之为：上溢（overflow）
3、添加 – 上溢的解决(假设5阶)
上溢节点的元素个数必然等于 m
-
假设上溢节点最中间元素的位置为 k
-
将 k 位置的元素向上与父节点合并
-
将 [0, k-1] 和 [k + 1, m - 1] 位置的元素分裂成 2 个子节点
这 2 个子节点的元素个数，必然都不会低于最低限制（┌ m/2 ┐ − 1）
-
-
一次分裂完毕后，有可能导致父节点上溢，依然按照上述方法解决
- 最极端的情况，有可能一直分裂到根节点
四阶B树演示上溢
- 插入98
4、删除
4.1、叶子节点
假如需要删除的元素在叶子节点中，那么直接删除即可
- 删除 30
4.2、非叶子节点
- 假如需要删除的元素在非叶子节点中
-
先找到前驱或后继元素，覆盖所需删除元素的值
-
再把前驱或后继元素删除
- 删除 60
- 非叶子节点的前驱或后继元素，必定在叶子节点中
- 所以这里的删除前驱或后继元素 ，就是最开始提到的情况：删除的元素在叶子节点中
- 真正的删除元素都是发生在叶子节点中
4.3、下溢
-
删除 22 ？（假设这是一棵 5阶B树）每个节点存储的元素为
2-4叶子节点被删掉一个元素后，元素个数可能会低于最低限制（ ≥ ┌ m/2 ┐ − 1 ）
这种现象称为：下溢（underflow）
5、删除 – 下溢的解决
下溢节点的元素数量必然等于 ┌ m/2 ┐ − 2
-
如果下溢节点临近的兄弟节点，有至少 ┌ m/2 ┐ 个元素，可以向其借一个元素
将父节点的元素
b插入到下溢节点的0位置（最小位置）用兄弟节点的元素
a（最大的元素）替代父节点的元素b这种操作其实就是：==旋转==
-
如果下溢节点临近的兄弟节点，只有 ┌ m/2 ┐ − 1 个元素
将父节点的元素 b 挪下来跟左右子节点进行合并
合并后的节点元素个数等于**┌ m/2 ┐ + ┌ m/2 ┐ − 2，不超过 m − 1**
-
┌ m/2 ┐ >= m/2，所以m/2 ┐ + ┌ m/2 ┐ >= m，┌ m/2 ┐ + ┌ m/2 ┐ − 2 >= m-2，m >= 2，m-1 > m-2
这个操作可能会导致父节点下溢，依然按照上述方法解决，下溢现象可能会一直往上传播
-
四、4阶B树
