数据结构与算法(六) 二叉树

2019-10-09 782 阅读2分钟

二叉树（Binary Tree）

每个节点的度最大为2。
左子树和右子树是有序的。
即使某个节点只有一颗子树，也要区分是左右子树。

性质

非空二叉树的第i层，最多有 $2^{i - 1}$ 个节点。

对于任何一颗非空二叉树，如果叶子节点的个数为 $n_0$ ，度为2的节点个数为 $n_2$ ，则有 $n_0 = n_2 + 1$ 。

假设度为1的节点数为 $n_1$ 那二叉树的节点总数为 $n = n_0 + n_2$ 。
二叉树的边数 $T = n_1 + 2*n_2 = n - 1 = n_0 + n_1 + n_2 -1$ 。

真二叉树（Proper Binary Tree）

所有节点的度为0或者为2。

满二叉树（Full Binary Tree）

所有节点的度为0或者为2（真二叉树）&& 所有的叶子节点都在最后一层。

n (节点总数量) = 2^0 + 2^1 +2^2 +...+2^{h-1} = 2^{h} - 1

h = log2^{n + 1}

完全二叉树(Complete Binary Tree)

叶子节点只会出现最后2层，而且最后1层的节点都向左对齐

度为1的节点只有左子树
度为1的节点个数<=1
同样节点个数的二叉树，完全二叉树的高度最小
假设完全二叉树的高度为h（h>=1）那么
- 至少有 $2^{h - 1}$ 个节点
- 至多有 $2^h - 1$ 个节点（满二叉树）
- 总结点数量为n
  - $2^{h-1} \leq n < 2^h$
  - $h - 1 \leq log2^n < h$
    - h = + 1
      - floor()向下取整
      - ceiling向上取整

习题：

如果有一颗完全二叉树有589个节点，求叶子节点个数。

假设：

叶子节点个数为 $n_0$ 度为1的节点个数为 $n_1$ 度为2的节点个数为 $n_2$ 总节点个数为 $T$

就有

T = n_0 + n_1 + n_2

已知 $n_0 = n_2 + 1$

所以

T = n_0 + n_1 + (n_0 - 1) = 2n_0 + n_1 - 1

因为T = 589 完全二叉树度为1的节点个数 $\le 1$

假设n1 = 1

589 = $2n_0$ + 1 - 1

$n_0$ = 494.5

不成立

假设n1 = 0

589 = $2n_0$ + 0 - 1

$n_0$ = 495

成立

所以叶子节点的个数为495

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