高斯三角积分求积点汇总

1.说明

下表横排的数字分别是：

$\omega,\alpha,\beta,\gamma$

$degree$ 是多项式的阶数，阶数越高计算精度越高。

2.使用

假设三角形的三个角点是

$A=(x_a,y_a)$ $B=(x_b,y_b)$ $C=(x_c,y_c)$

你要确保这3个点确实能构成三角形，否则计算毫无意义！

假设你的工作是计算 $f(r)$ 在上面三个点构成的三角形区域上的二重积分：

高斯积分法是给定区域内 ${n}$ 个点和 ${n}$ 个权重系数 $\omega$ ， ${\bf r}=(x,y,z)$

这 $n$ 个点如下计算：

$x_i = x_a*\alpha_i + x_b*\beta_i + x_c*\gamma_i$

$y_i = y_a*\alpha_i + y_b*\beta_i + y_c*\gamma_i$

$z_i = z_a*\alpha_i + z_b*\beta_i + z_c*\gamma_i$

然后根据公式：

I = {\int_{\Delta}f({\bf r})dS} ={\sum_{i=1}^n \omega_i f(\bf r_i)}

3.简单C++代码

I = 0.0;
for(int i = 0; i < n; i++ ){
    x[i] = x1*alpha[i] + x2 * beta[i] + x3 * gamma[i];
    y[i] = y1*alpha[i] + y2 * beta[i] + y3 * gamma[i];
    z[i] = z1*alpha[i] + z2 * beta[i] + z3 * gamma[i];
    I += w[i] * f(x[i],y[i],z[i]);
}
I *= Area;

$I$ 就是积分值。别忘了乘以面积

4.作者心得

注：我并非原始程序的作者，以下是原作者的话,本人最多用FORTRAN计算到5000点高斯积分

表中的数据来自于近期的研究计算，花费了本人40天的时间。因为需要求解非线性方程组，需要用到最小二乘法或者Levenberg-Marquardt最小二乘，方程越多，牛顿法收敛就越慢，很多时候不收敛，这是40天，又重新拾起放下近两年的编程爱好，而且比较好的熟悉了Levenberg-Marquardt方法。

期间参考很多文件，一些文件给出了数据，比如上世纪70~80年代的一篇文献，或许那个时候计算机还是实验室的器材，标准化还没有像现在这么严格，一些厂商的计算机的fortran编译器浮点数字长可以给出更多位，所以计算可以一直进行下去，目前的计算机，浮点数精度最高也就15位，而且微软的编译器和GNU的编译器的long double存储方式似乎不一样，微软的long double可能到不了15位。所以多项式的阶数超过10以后，计算花费的时间很长也不收敛，因为这个时候牛顿法求解的解已经很小，再跌待下去也没有什么作用。

degree为自由度，第一列为点的序号，第二列为权值系数，剩余三列为求积点系数

degree = 1	$\omega$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$
1	1.0000000000000000	0.3333333333333333	0.3333333333333333	0.3333333333333333

degree = 2	$\omega$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$
1	1.0000000000000000	0.3333333333333333	0.3333333333333333	0.3333333333333333
2	0.3333333333333333	0.0000000000000000	0.5000000000000000	0.5000000000000000
3	0.3333333333333333	0.5000000000000000	0.5000000000000000	0.0000000000000000
4	0.3333333333333333	0.5000000000000000	0.0000000000000000	0.5000000000000000

degree = 3	$\omega$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$
1	-0.5624999999999998	0.3333333333333333	0.3333333333333333	0.3333333333333333
2	0.5208333333333333	0.6000000000000000	0.2000000000000000	0.2000000000000000
3	0.5208333333333333	0.2000000000000000	0.2000000000000000	0.6000000000000000
4	0.5208333333333333	0.2000000000000000	0.6000000000000000	0.2000000000000000

degree = 4	$\omega$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$
1	0.1099517436553219	0.8168475729804585	0.0915762135097707	0.0915762135097707
2	0.1099517436553219	0.0915762135097707	0.0915762135097707	0.8168475729804585
3	0.1099517436553219	0.0915762135097707	0.8168475729804585	0.0915762135097707
4	0.2233815896780115	0.1081030181680702	0.4459484909159649	0.4459484909159649
5	0.2233815896780115	0.4459484909159649	0.4459484909159649	0.1081030181680702
6	0.2233815896780115	0.4459484909159649	0.1081030181680702	0.4459484909159649

degree = 5	$\omega$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$
1	0.2250000000000002	0.3333333333333333	0.3333333333333333	0.3333333333333333
2	0.1323941527885061	0.0597158717897698	0.4701420641051151	0.4701420641051151
3	0.1323941527885061	0.4701420641051151	0.4701420641051151	0.0597158717897698
4	0.1323941527885061	0.4701420641051151	0.0597158717897698	0.4701420641051151
5	0.1259391805448272	0.7974269853530873	0.1012865073234563	0.1012865073234563
6	0.1259391805448272	0.1012865073234563	0.1012865073234563	0.7974269853530873
7	0.1259391805448272	0.1012865073234563	0.7974269853530873	0.1012865073234563

degree = 6	$\omega$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$
1	0.1713331241529811	0.5611400349004341	0.2194299825497830	0.2194299825497830
2	0.1713331241529811	0.2194299825497830	0.2194299825497830	0.5611400349004341
3	0.1713331241529811	0.2194299825497830	0.5611400349004341	0.2194299825497830
4	0.0807310895930309	0.0397240717755698	0.4801379641122151	0.4801379641122151
5	0.0807310895930309	0.4801379641122151	0.4801379641122151	0.0397240717755698
6	0.0807310895930309	0.4801379641122151	0.0397240717755698	0.4801379641122151
7	0.0406345597936607	0.0193717243612408	0.1416190159239682	0.8390092597147911
8	0.0406345597936607	0.1416190159239682	0.8390092597147911	0.0193717243612408
9	0.0406345597936607	0.8390092597147911	0.0193717243612408	0.1416190159239682
10	0.0406345597936607	0.1416190159239682	0.0193717243612408	0.8390092597147911
11	0.0406345597936607	0.0193717243612408	0.8390092597147911	0.1416190159239682
12	0.0406345597936607	0.8390092597147911	0.1416190159239682	0.0193717243612408

degree = 6	$\omega$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$
1	0.2127201350144858	0.1131404479298898	0.4434297760350551	0.4434297760350551
2	0.2127201350144858	0.4434297760350551	0.4434297760350551	0.1131404479298898
3	0.2127201350144858	0.4434297760350551	0.1131404479298898	0.4434297760350551
4	0.1197593020220356	0.8007239089385513	0.0996380455307244	0.0996380455307244
5	0.1197593020220356	0.0996380455307244	0.0996380455307244	0.8007239089385513
6	0.1197593020220356	0.0996380455307244	0.8007239089385513	0.0996380455307244
7	0.0004269481484060	-0.3916056607505068	0.3812153080251861	1.0103903527253207
8	0.0004269481484060	0.3812153080251861	1.0103903527253207	-0.3916056607505068
9	0.0004269481484060	1.0103903527253207	-0.3916056607505068	0.3812153080251861
10	0.0004269481484060	0.3812153080251861	-0.3916056607505068	1.0103903527253207
11	0.0004269481484060	-0.3916056607505068	1.0103903527253207	0.3812153080251861
12	0.0004269481484060	1.0103903527253207	0.3812153080251861	-0.3916056607505068

degree = 7	$\omega$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$
1	-0.1495700444676828	0.3333333333333333	0.3333333333333333	0.3333333333333333
2	0.1756152574332084	0.4793080678419204	0.2603459660790398	0.2603459660790398
3	0.1756152574332084	0.2603459660790398	0.2603459660790398	0.4793080678419204
4	0.1756152574332084	0.2603459660790398	0.4793080678419204	0.2603459660790398
5	0.0533472356088385	0.8697397941955683	0.0651301029022158	0.0651301029022158
6	0.0533472356088385	0.0651301029022158	0.0651301029022158	0.8697397941955683
7	0.0533472356088385	0.0651301029022158	0.8697397941955683	0.0651301029022158
8	0.0771137608902570	0.0486903154253163	0.6384441885698098	0.3128654960048739
9	0.0771137608902570	0.6384441885698098	0.3128654960048739	0.0486903154253163
10	0.0771137608902570	0.3128654960048739	0.0486903154253163	0.6384441885698098
11	0.0771137608902570	0.6384441885698098	0.0486903154253163	0.3128654960048739
12	0.0771137608902570	0.0486903154253163	0.3128654960048739	0.6384441885698098
13	0.0771137608902570	0.3128654960048739	0.6384441885698098	0.0486903154253163

有一组在三角形外面，也许有时需要，所以列出

degree = 7	$\omega$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$
1	0.1972707495121722	0.3333333333333333	0.3333333333333333	0.3333333333333333
2	0.0444948443100992	0.8842157156244530	0.0578921421877735	0.0578921421877735
3	0.0444948443100992	0.0578921421877735	0.0578921421877735	0.8842157156244530
4	0.0444948443100992	0.0578921421877735	0.8842157156244530	0.0578921421877735
5	0.0000007546437878	-1.2059528557044588	1.1029764278522294	1.1029764278522294
6	0.0000007546437878	1.1029764278522294	1.1029764278522294	-1.2059528557044588
7	0.0000007546437878	1.1029764278522294	-1.2059528557044588	1.1029764278522294
8	0.1115404089376944	0.6305200758382323	0.2982123657195186	0.0712675584422492
9	0.1115404089376944	0.2982123657195186	0.0712675584422492	0.6305200758382323
10	0.1115404089376944	0.0712675584422492	0.6305200758382323	0.2982123657195186
11	0.1115404089376944	0.2982123657195186	0.6305200758382323	0.0712675584422492
12	0.1115404089376944	0.6305200758382323	0.0712675584422492	0.2982123657195186
13	0.1115404089376944	0.0712675584422492	0.2982123657195186	0.6305200758382323

degree = 8	$\omega$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$
1	-0.2834183851126113	0.3333333333333333	0.3333333333333333	0.3333333333333333
2	0.0699069619326384	0.0466691212356817	0.4766654393821592	0.4766654393821592
3	0.0699069619326384	0.4766654393821592	0.4766654393821592	0.0466691212356817
4	0.0699069619326384	0.4766654393821592	0.0466691212356817	0.4766654393821592
5	0.2188298823308579	0.4593042216690593	0.2703478891654703	0.2703478891654703
6	0.2188298823308579	0.2703478891654703	0.2703478891654703	0.4593042216690593
7	0.2188298823308579	0.2703478891654703	0.4593042216690593	0.2703478891654703
8	0.0170909126715970	0.9324563118910530	0.0337718440544735	0.0337718440544735
9	0.0170909126715970	0.0337718440544735	0.0337718440544735	0.9324563118910530
10	0.0170909126715970	0.0337718440544735	0.9324563118910530	0.0337718440544735
11	0.0609891857178885	0.0514643354866663	0.2027061737460827	0.7458294907672510
12	0.0609891857178885	0.2027061737460827	0.7458294907672510	0.0514643354866663
13	0.0609891857178885	0.7458294907672510	0.0514643354866663	0.2027061737460827
14	0.0609891857178885	0.2027061737460827	0.0514643354866663	0.7458294907672510
15	0.0609891857178885	0.0514643354866663	0.7458294907672510	0.2027061737460827
16	0.0609891857178885	0.7458294907672510	0.2027061737460827	0.0514643354866663

degree = 8	$\omega$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$
1	0.1443156076777871	0.3333333333333333	0.3333333333333333	0.3333333333333333
2	0.1032173705347183	0.6588613844964798	0.1705693077517601	0.1705693077517601
3	0.1032173705347183	0.1705693077517601	0.1705693077517601	0.6588613844964798
4	0.1032173705347183	0.1705693077517601	0.6588613844964798	0.1705693077517601
5	0.0950916342672846	0.0814148234145539	0.4592925882927231	0.4592925882927231
6	0.0950916342672846	0.4592925882927231	0.4592925882927231	0.0814148234145539
7	0.0950916342672846	0.4592925882927231	0.0814148234145539	0.4592925882927231
8	0.0324584976231981	0.8989055433659380	0.0505472283170310	0.0505472283170310
9	0.0324584976231981	0.0505472283170310	0.0505472283170310	0.8989055433659380
10	0.0324584976231981	0.0505472283170310	0.8989055433659380	0.0505472283170310
11	0.0272303141744349	0.0083947774099573	0.2631128296346386	0.7284923929554041
12	0.0272303141744349	0.2631128296346386	0.7284923929554041	0.0083947774099573
13	0.0272303141744349	0.7284923929554041	0.0083947774099573	0.2631128296346386
14	0.0272303141744349	0.2631128296346386	0.0083947774099573	0.7284923929554041
15	0.0272303141744349	0.0083947774099573	0.7284923929554041	0.2631128296346386
16	0.0272303141744349	0.7284923929554041	0.2631128296346386	0.0083947774099573

degree = 9	$\omega$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$
1	0.0971357962827326	0.3333333333333333	0.3333333333333333	0.3333333333333333
2	0.0796477389272053	0.6235929287619370	0.1882035356190315	0.1882035356190315
3	0.0796477389272053	0.1882035356190315	0.1882035356190315	0.6235929287619370
4	0.0796477389272053	0.1882035356190315	0.6235929287619370	0.1882035356190315
5	0.0255776756586976	0.9105409732110955	0.0447295133944523	0.0447295133944523
6	0.0255776756586976	0.0447295133944523	0.0447295133944523	0.9105409732110955
7	0.0255776756586976	0.0447295133944523	0.9105409732110955	0.0447295133944523
8	0.0313347002271823	0.0206349616025685	0.4896825191987158	0.4896825191987158
9	0.0313347002271823	0.4896825191987158	0.4896825191987158	0.0206349616025685
10	0.0313347002271823	0.4896825191987158	0.0206349616025685	0.4896825191987158
11	0.0778275410047566	0.1258208170142040	0.4370895914928980	0.4370895914928980
12	0.0778275410047566	0.4370895914928980	0.4370895914928980	0.1258208170142040
13	0.0778275410047566	0.4370895914928980	0.1258208170142040	0.4370895914928980
14	0.0432835393772904	0.7411985987844977	0.2219629891607650	0.0368384120547374
15	0.0432835393772904	0.2219629891607650	0.0368384120547374	0.7411985987844977
16	0.0432835393772904	0.0368384120547374	0.7411985987844977	0.2219629891607650
17	0.0432835393772904	0.2219629891607650	0.7411985987844977	0.0368384120547374
18	0.0432835393772904	0.7411985987844977	0.0368384120547374	0.2219629891607650
19	0.0432835393772904	0.0368384120547374	0.2219629891607650	0.7411985987844977

此组数据未经验证

degree = 10	$\omega$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$
1	0.1113071860825290	0.5026978113577363	0.2486510943211319	0.2486510943211319
2	0.1113071860825290	0.2486510943211319	0.2486510943211319	0.5026978113577363
3	0.1113071860825290	0.2486510943211319	0.5026978113577363	0.2486510943211319
4	0.0001902394343234	-0.1657729533166799	0.5828864766583400	0.5828864766583400
5	0.0001902394343234	0.5828864766583400	0.5828864766583400	-0.1657729533166799
6	0.0001902394343234	0.5828864766583400	-0.1657729533166799	0.5828864766583400
7	0.0711967056128394	0.0663590736226500	0.4668204631886750	0.4668204631886750
8	0.0711967056128394	0.4668204631886750	0.4668204631886750	0.0663590736226500
9	0.0711967056128394	0.4668204631886750	0.0663590736226500	0.4668204631886750
10	0.0469661647538685	0.7632938936042240	0.1183530531978880	0.1183530531978880
11	0.0469661647538685	0.1183530531978880	0.1183530531978880	0.7632938936042240
12	0.0469661647538685	0.1183530531978880	0.7632938936042240	0.1183530531978880
13	0.0115357171335142	0.9154199112261553	0.0745645985418029	0.0100154902320417
14	0.0115357171335142	0.0745645985418029	0.0100154902320417	0.9154199112261553
15	0.0115357171335142	0.0100154902320417	0.9154199112261553	0.0745645985418029
16	0.0115357171335142	0.0745645985418029	0.9154199112261553	0.0100154902320417
17	0.0115357171335142	0.9154199112261553	0.0100154902320417	0.0745645985418029
18	0.0115357171335142	0.0100154902320417	0.0745645985418029	0.9154199112261553
19	0.0403008015913723	0.2621569284150243	0.0378102256449100	0.7000328459400657
20	0.0403008015913723	0.0378102256449100	0.7000328459400657	0.2621569284150243
21	0.0403008015913723	0.7000328459400657	0.2621569284150243	0.0378102256449100
22	0.0403008015913723	0.0378102256449100	0.2621569284150243	0.7000328459400657
23	0.0403008015913723	0.2621569284150243	0.7000328459400657	0.0378102256449100
24	0.0403008015913723	0.7000328459400657	0.0378102256449100	0.2621569284150243

比上两组多一点，25点

degree = 10	$\omega$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$
1	0.090817990382750891	0.333333333333333315	0.333333333333333315	0.333333333333333315
2	0.045321059435528175	0.781036849029923654	0.109481575485038173	0.109481575485038173
3	0.045321059435528175	0.109481575485038173	0.109481575485038173	0.781036849029923654
4	0.045321059435528175	0.109481575485038173	0.781036849029923654	0.109481575485038173
5	0.036725957756466595	0.028844733232685083	0.485577633383657459	0.485577633383657459
6	0.036725957756466595	0.485577633383657459	0.485577633383657459	0.028844733232685083
7	0.036725957756466595	0.485577633383657459	0.028844733232685083	0.485577633383657459
8	0.072757916845419716	0.550352941820996717	0.141707219414881401	0.307939838764121883
9	0.072757916845419716	0.141707219414881401	0.307939838764121883	0.550352941820996717
10	0.072757916845419716	0.307939838764121883	0.550352941820996717	0.141707219414881401
11	0.072757916845419716	0.141707219414881401	0.550352941820996717	0.307939838764121883
12	0.072757916845419716	0.550352941820996717	0.307939838764121883	0.141707219414881401
13	0.072757916845419716	0.307939838764121883	0.141707219414881401	0.550352941820996717
14	0.009421666963733052	0.066803251012200984	0.009540815400299690	0.923655933587499325
15	0.009421666963733052	0.009540815400299690	0.923655933587499325	0.066803251012200984
16	0.009421666963733052	0.923655933587499325	0.066803251012200984	0.009540815400299690
17	0.009421666963733052	0.009540815400299690	0.066803251012200984	0.923655933587499325
18	0.009421666963733052	0.066803251012200984	0.923655933587499325	0.009540815400299690
19	0.009421666963733052	0.923655933587499325	0.009540815400299690	0.066803251012200984
20	0.028327242531058032	0.025003534762687115	0.246672560639903709	0.728323904597409175
21	0.028327242531058032	0.246672560639903709	0.728323904597409175	0.025003534762687115
22	0.028327242531058032	0.728323904597409175	0.025003534762687115	0.246672560639903709
23	0.028327242531058032	0.246672560639903709	0.025003534762687115	0.728323904597409175
24	0.028327242531058032	0.025003534762687115	0.728323904597409175	0.246672560639903709
25	0.028327242531058032	0.728323904597409175	0.246672560639903709	0.025003534762687115

degree = 10	$\omega$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$
1	0.081743329146692637	0.333333333333333315	0.333333333333333315	0.333333333333333315
2	0.013352968813199210	0.935889253565992179	0.032055373217003911	0.032055373217003911
3	0.013352968813199210	0.032055373217003911	0.032055373217003911	0.935889253565992179
4	0.013352968813199210	0.032055373217003911	0.935889253565992179	0.032055373217003911
5	0.045957963604623430	0.715677797887853834	0.142161101056073083	0.142161101056073083
6	0.045957963604623430	0.142161101056073083	0.142161101056073083	0.715677797887853834
7	0.045957963604623430	0.142161101056073083	0.715677797887853834	0.142161101056073083
8	0.025297757707192920	0.163701733737503166	0.028367665339785424	0.807930600922711410
9	0.025297757707192920	0.028367665339785424	0.807930600922711410	0.163701733737503166
10	0.025297757707192920	0.807930600922711410	0.163701733737503166	0.028367665339785424
11	0.025297757707192920	0.028367665339785424	0.163701733737503166	0.807930600922711410
12	0.025297757707192920	0.163701733737503166	0.807930600922711410	0.028367665339785424
13	0.025297757707192920	0.807930600922711410	0.028367665339785424	0.163701733737503166
14	0.063904906396607587	0.530054118927896822	0.148132885783570008	0.321812995288533170
15	0.063904906396607587	0.148132885783570008	0.321812995288533170	0.530054118927896822
16	0.063904906396607587	0.321812995288533170	0.530054118927896822	0.148132885783570008
17	0.063904906396607587	0.148132885783570008	0.530054118927896822	0.321812995288533170
18	0.063904906396607587	0.530054118927896822	0.321812995288533170	0.148132885783570008
19	0.063904906396607587	0.321812995288533170	0.148132885783570008	0.530054118927896822
20	0.034184648162839400	0.029619889488664224	0.369146781828033666	0.601233328683302110
21	0.034184648162839400	0.369146781828033666	0.601233328683302110	0.029619889488664224
22	0.034184648162839400	0.601233328683302110	0.029619889488664224	0.369146781828033666
23	0.034184648162839400	0.369146781828033666	0.029619889488664224	0.601233328683302110
24	0.034184648162839400	0.029619889488664224	0.601233328683302110	0.369146781828033666
25	0.034184648162839400	0.601233328683302110	0.369146781828033666	0.029619889488664224

另一组，有一点在区域外

degree = 10	$\omega$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$
1	0.3655803796327173	0.4140154127023402	0.2929922936488299	0.2929922936488299
2	0.3655803796327173	0.2929922936488299	0.2929922936488299	0.4140154127023402
3	0.3655803796327173	0.2929922936488299	0.4140154127023402	0.2929922936488299
4	0.0633700505958903	0.0468471006218868	0.4765764496890566	0.4765764496890566
5	0.0633700505958903	0.4765764496890566	0.4765764496890566	0.0468471006218868
6	0.0633700505958903	0.4765764496890566	0.0468471006218868	0.4765764496890566
7	0.0001277348355924	-0.1832474681879303	0.8834826085187631	0.2997648596691672
8	0.0001277348355924	0.8834826085187631	0.2997648596691672	-0.1832474681879303
9	0.0001277348355924	0.2997648596691672	-0.1832474681879303	0.8834826085187631
10	0.0001277348355924	0.8834826085187631	-0.1832474681879303	0.2997648596691672
11	0.0001277348355924	-0.1832474681879303	0.2997648596691672	0.8834826085187631
12	0.0001277348355924	0.2997648596691672	0.8834826085187631	-0.1832474681879303
13	0.0664563042518066	0.2226110814673315	0.7147198890424407	0.0626690294902278
14	0.0664563042518066	0.7147198890424407	0.0626690294902278	0.2226110814673315
15	0.0664563042518066	0.0626690294902278	0.2226110814673315	0.7147198890424407
16	0.0664563042518066	0.7147198890424407	0.2226110814673315	0.0626690294902278
17	0.0664563042518066	0.2226110814673315	0.0626690294902278	0.7147198890424407
18	0.0664563042518066	0.0626690294902278	0.7147198890424407	0.2226110814673315
19	0.0133873506576532	0.0653270323555995	0.0254894405687315	0.9091835270756690
20	0.0133873506576532	0.0254894405687315	0.9091835270756690	0.0653270323555995
21	0.0133873506576532	0.9091835270756690	0.0653270323555995	0.0254894405687315
22	0.0133873506576532	0.0254894405687315	0.0653270323555995	0.9091835270756690
23	0.0133873506576532	0.0653270323555995	0.9091835270756690	0.0254894405687315
24	0.0133873506576532	0.9091835270756690	0.0254894405687315	0.0653270323555995

degree = 10	$\omega$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$
1	0.0798945047414509	0.3333333333333333	0.3333333333333333	0.3333333333333333
2	0.0082238186904608	0.9533822649800155	0.0233088675099923	0.0233088675099923
3	0.0082238186904608	0.0233088675099923	0.0233088675099923	0.9533822649800155
4	0.0082238186904608	0.0233088675099923	0.9533822649800155	0.0233088675099923
5	0.0711238022323189	0.1498275787956614	0.4250862106021693	0.4250862106021693
6	0.0711238022323189	0.4250862106021693	0.4250862106021693	0.1498275787956614
7	0.0711238022323189	0.4250862106021693	0.1498275787956614	0.4250862106021693
8	0.0308866568845657	0.0356325595875067	0.1432953704268553	0.8210720699856380
9	0.0308866568845657	0.1432953704268553	0.8210720699856380	0.0356325595875067
10	0.0308866568845657	0.8210720699856380	0.0356325595875067	0.1432953704268553
11	0.0308866568845657	0.1432953704268553	0.0356325595875067	0.8210720699856380
12	0.0308866568845657	0.0356325595875067	0.8210720699856380	0.1432953704268553
13	0.0308866568845657	0.8210720699856380	0.1432953704268553	0.0356325595875067
14	0.0454305922962065	0.1479256262094704	0.2237669735770772	0.6283074002134524
15	0.0454305922962065	0.2237669735770772	0.6283074002134524	0.1479256262094704
16	0.0454305922962065	0.6283074002134524	0.1479256262094704	0.2237669735770772
17	0.0454305922962065	0.2237669735770772	0.1479256262094704	0.6283074002134524
18	0.0454305922962065	0.1479256262094704	0.6283074002134524	0.2237669735770772
19	0.0454305922962065	0.6283074002134524	0.2237669735770772	0.1479256262094704
20	0.0373598562342628	0.0299460319541303	0.6113138261814337	0.3587401418644360
21	0.0373598562342628	0.6113138261814337	0.3587401418644360	0.0299460319541303
22	0.0373598562342628	0.3587401418644360	0.0299460319541303	0.6113138261814337
23	0.0373598562342628	0.6113138261814337	0.0299460319541303	0.3587401418644360
24	0.0373598562342628	0.0299460319541303	0.3587401418644360	0.6113138261814337
25	0.0373598562342628	0.3587401418644360	0.6113138261814337	0.0299460319541303

27点

degree = 11	$\omega$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$
1	0.0136597310026600	0.9352701037774976	0.0323649481112512	0.0323649481112512
2	0.0136597310026600	0.0323649481112512	0.0323649481112512	0.9352701037774976
3	0.0136597310026600	0.0323649481112512	0.9352701037774976	0.0323649481112512
4	0.0593229773808629	0.5933801991379925	0.2033099004310038	0.2033099004310038
5	0.0593229773808629	0.2033099004310038	0.2033099004310038	0.5933801991379925
6	0.0593229773808629	0.2033099004310038	0.5933801991379925	0.2033099004310038
7	0.0771495349149463	0.2020613940682784	0.3989693029658608	0.3989693029658608
8	0.0771495349149463	0.3989693029658608	0.3989693029658608	0.2020613940682784
9	0.0771495349149463	0.3989693029658608	0.2020613940682784	0.3989693029658608
10	0.0009270063289585	-0.0692220965415679	0.5346110482707839	0.5346110482707839
11	0.0009270063289585	0.5346110482707839	0.5346110482707839	-0.0692220965415679
12	0.0009270063289585	0.5346110482707839	-0.0692220965415679	0.5346110482707839
13	0.0361845405032366	0.7612981754352037	0.1193509122823981	0.1193509122823981
14	0.0361845405032366	0.1193509122823981	0.1193509122823981	0.7612981754352037
15	0.0361845405032366	0.1193509122823981	0.7612981754352037	0.1193509122823981
16	0.0523371119621845	0.5932012134282308	0.3566206482613002	0.0501781383104690
17	0.0523371119621845	0.3566206482613002	0.0501781383104690	0.5932012134282308
18	0.0523371119621845	0.0501781383104690	0.5932012134282308	0.3566206482613002
19	0.0523371119621845	0.3566206482613002	0.5932012134282308	0.0501781383104690
20	0.0523371119621845	0.5932012134282308	0.0501781383104690	0.3566206482613002
21	0.0523371119621845	0.0501781383104690	0.3566206482613002	0.5932012134282308
22	0.0207076596391499	0.1714889803040183	0.8074890031597964	0.0210220165361853
23	0.0207076596391499	0.8074890031597964	0.0210220165361853	0.1714889803040183
24	0.0207076596391499	0.0210220165361853	0.1714889803040183	0.8074890031597964
25	0.0207076596391499	0.8074890031597964	0.1714889803040183	0.0210220165361853
26	0.0207076596391499	0.1714889803040183	0.0210220165361853	0.8074890031597964
27	0.0207076596391499	0.0210220165361853	0.8074890031597964	0.1714889803040183

比上一组数据多一点28点

degree = 11	$\omega$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$
1	0.081985974746804373	0.333333333333333315	0.333333333333333315	0.333333333333333315
2	0.039942143576488949	0.775617865240571373	0.112191067379714314	0.112191067379714314
3	0.039942143576488949	0.112191067379714314	0.112191067379714314	0.775617865240571373
4	0.039942143576488949	0.112191067379714314	0.775617865240571373	0.112191067379714314
5	0.012087641802021833	0.938704605416926505	0.030647697291536748	0.030647697291536748
6	0.012087641802021833	0.030647697291536748	0.030647697291536748	0.938704605416926505
7	0.012087641802021833	0.030647697291536748	0.938704605416926505	0.030647697291536748
8	0.012966773780136362	0.003247880951453927	0.498376059524273036	0.498376059524273036
9	0.012966773780136362	0.498376059524273036	0.498376059524273036	0.003247880951453927
10	0.012966773780136362	0.498376059524273036	0.003247880951453927	0.498376059524273036
11	0.063635795624925280	0.126088061528286245	0.436955969235856878	0.436955969235856878
12	0.063635795624925280	0.436955969235856878	0.436955969235856878	0.126088061528286245
13	0.063635795624925280	0.436955969235856878	0.126088061528286245	0.436955969235856878
14	0.068143441521011143	0.571905642049220243	0.214047178975389878	0.214047178975389878
15	0.068143441521011143	0.214047178975389878	0.214047178975389878	0.571905642049220243
16	0.068143441521011143	0.214047178975389878	0.571905642049220243	0.214047178975389878
17	0.040490926536685958	0.047495010355023624	0.308240026503065371	0.644264963141911005
18	0.040490926536685958	0.308240026503065371	0.644264963141911005	0.047495010355023624
19	0.040490926536685958	0.644264963141911005	0.047495010355023624	0.308240026503065371
20	0.040490926536685958	0.308240026503065371	0.047495010355023624	0.644264963141911005
21	0.040490926536685958	0.047495010355023624	0.644264963141911005	0.308240026503065371
22	0.040490926536685958	0.644264963141911005	0.308240026503065371	0.047495010355023624
23	0.014123512853221530	0.158363043227417281	0.013773426774784745	0.827863529997797974
24	0.014123512853221530	0.013773426774784745	0.827863529997797974	0.158363043227417281
25	0.014123512853221530	0.827863529997797974	0.158363043227417281	0.013773426774784745
26	0.014123512853221530	0.013773426774784745	0.158363043227417281	0.827863529997797974
27	0.014123512853221530	0.158363043227417281	0.827863529997797974	0.013773426774784745
28	0.014123512853221530	0.827863529997797974	0.013773426774784745	0.158363043227417281

degree = 11	$\omega$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$
1	0.0939887118596081	0.3333333333333333	0.3333333333333333	0.3333333333333333
2	0.0747657073102141	0.1239784187809966	0.4380107906095017	0.4380107906095017
3	0.0747657073102141	0.4380107906095017	0.4380107906095017	0.1239784187809966
4	0.0747657073102141	0.4380107906095017	0.1239784187809966	0.4380107906095017
5	0.0777172954301729	0.6090835246954942	0.1954582376522529	0.1954582376522529
6	0.0777172954301729	0.1954582376522529	0.1954582376522529	0.6090835246954942
7	0.0777172954301729	0.1954582376522529	0.6090835246954942	0.1954582376522529
8	0.0333221581167988	0.8907316864980422	0.0546341567509789	0.0546341567509789
9	0.0333221581167988	0.0546341567509789	0.0546341567509789	0.8907316864980422
10	0.0333221581167988	0.0546341567509789	0.8907316864980422	0.0546341567509789
11	0.0270547211160080	0.0180157408723566	0.4909921295638217	0.4909921295638217
12	0.0270547211160080	0.4909921295638217	0.4909921295638217	0.0180157408723566
13	0.0270547211160080	0.4909921295638217	0.0180157408723566	0.4909921295638217
14	0.0001266767116301	1.0688865833767465	-0.0344432916883733	-0.0344432916883733
15	0.0001266767116301	-0.0344432916883733	-0.0344432916883733	1.0688865833767465
16	0.0001266767116301	-0.0344432916883733	1.0688865833767465	-0.0344432916883733
17	0.0443793145585302	0.2376869728028268	0.0397170777419883	0.7225959494551849
18	0.0443793145585302	0.0397170777419883	0.7225959494551849	0.2376869728028268
19	0.0443793145585302	0.7225959494551849	0.2376869728028268	0.0397170777419883
20	0.0443793145585302	0.0397170777419883	0.2376869728028268	0.7225959494551849
21	0.0443793145585302	0.2376869728028268	0.7225959494551849	0.0397170777419883
22	0.0443793145585302	0.7225959494551849	0.0397170777419883	0.2376869728028268
23	0.0001292874557898	0.0966316946124230	1.0316854886895806	-0.1283171833020035
24	0.0001292874557898	1.0316854886895806	-0.1283171833020035	0.0966316946124230
25	0.0001292874557898	-0.1283171833020035	0.0966316946124230	1.0316854886895806
26	0.0001292874557898	1.0316854886895806	0.0966316946124230	-0.1283171833020035
27	0.0001292874557898	0.0966316946124230	-0.1283171833020035	1.0316854886895806
28	0.0001292874557898	-0.1283171833020035	1.0316854886895806	0.0966316946124230

28点

degree = 11	$\omega$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$
1	0.0811430966994916	0.3333333333333333	0.3333333333333333	0.3333333333333333
2	0.0402313868480350	0.7725123116288034	0.1137438441855983	0.1137438441855983
3	0.0402313868480350	0.1137438441855983	0.1137438441855983	0.7725123116288034
4	0.0402313868480350	0.1137438441855983	0.7725123116288034	0.1137438441855983
5	0.0676827642391322	0.5705712319020207	0.2147143840489897	0.2147143840489897
6	0.0676827642391322	0.2147143840489897	0.2147143840489897	0.5705712319020207
7	0.0676827642391322	0.2147143840489897	0.5705712319020207	0.2147143840489897
8	0.0123335596621912	0.9381000598227554	0.0309499700886223	0.0309499700886223
9	0.0123335596621912	0.0309499700886223	0.0309499700886223	0.9381000598227554
10	0.0123335596621912	0.0309499700886223	0.9381000598227554	0.0309499700886223
11	0.0627932240128164	0.1270453666732015	0.4364773166633992	0.4364773166633992
12	0.0627932240128164	0.4364773166633992	0.4364773166633992	0.1270453666732015
13	0.0627932240128164	0.4364773166633992	0.1270453666732015	0.4364773166633992
14	0.0121885265002136	0.0019765881103107	0.4990117059448446	0.4990117059448446
15	0.0121885265002136	0.4990117059448446	0.4990117059448446	0.0019765881103107
16	0.0121885265002136	0.4990117059448446	0.0019765881103107	0.4990117059448446
17	0.0407395787486655	0.0477542285442660	0.3119326774356814	0.6403130940200526
18	0.0407395787486655	0.3119326774356814	0.6403130940200526	0.0477542285442660
19	0.0407395787486655	0.6403130940200526	0.0477542285442660	0.3119326774356814
20	0.0407395787486655	0.3119326774356814	0.0477542285442660	0.6403130940200526
21	0.0407395787486655	0.0477542285442660	0.6403130940200526	0.3119326774356814
22	0.0407395787486655	0.6403130940200526	0.3119326774356814	0.0477542285442660
23	0.0147885078368917	0.8255281688067250	0.1597983295373859	0.0146735016558891
24	0.0147885078368917	0.1597983295373859	0.0146735016558891	0.8255281688067250
25	0.0147885078368917	0.0146735016558891	0.8255281688067250	0.1597983295373859
26	0.0147885078368917	0.1597983295373859	0.8255281688067250	0.0146735016558891
27	0.0147885078368917	0.8255281688067250	0.0146735016558891	0.1597983295373859
28	0.0147885078368917	0.0146735016558891	0.1597983295373859	0.8255281688067250

30点

degree = 11	$\omega$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$
1	0.0721780423971990	0.2128984074010531	0.3935507962994734	0.3935507962994734
2	0.0721780423971990	0.3935507962994734	0.3935507962994734	0.2128984074010531
3	0.0721780423971990	0.3935507962994734	0.2128984074010531	0.3935507962994734
4	0.0432154356153596	0.0404186838220549	0.4797906580889726	0.4797906580889726
5	0.0432154356153596	0.4797906580889726	0.4797906580889726	0.0404186838220549
6	0.0432154356153596	0.4797906580889726	0.0404186838220549	0.4797906580889726
7	0.0581737103221670	0.1253995635366207	0.2659762019033153	0.6086242345600640
8	0.0581737103221670	0.2659762019033153	0.6086242345600640	0.1253995635366207
9	0.0581737103221670	0.6086242345600640	0.1253995635366207	0.2659762019033153
10	0.0581737103221670	0.2659762019033153	0.1253995635366207	0.6086242345600640
11	0.0581737103221670	0.1253995635366207	0.6086242345600640	0.2659762019033153
12	0.0581737103221670	0.6086242345600640	0.2659762019033153	0.1253995635366207
13	0.0169758483229776	0.2853641853869925	0.0124099701536885	0.7022258444593190
14	0.0169758483229776	0.0124099701536885	0.7022258444593190	0.2853641853869925
15	0.0169758483229776	0.7022258444593190	0.2853641853869925	0.0124099701536885
16	0.0169758483229776	0.0124099701536885	0.2853641853869925	0.7022258444593190
17	0.0169758483229776	0.2853641853869925	0.7022258444593190	0.0124099701536885
18	0.0169758483229776	0.7022258444593190	0.0124099701536885	0.2853641853869925
19	0.0062289048587870	0.0568171557885733	0.9380824996468378	0.0051003445645889
20	0.0062289048587870	0.9380824996468378	0.0051003445645889	0.0568171557885733
21	0.0062289048587870	0.0051003445645889	0.0568171557885733	0.9380824996468378
22	0.0062289048587870	0.9380824996468378	0.0568171557885733	0.0051003445645889
23	0.0062289048587870	0.0568171557885733	0.0051003445645889	0.9380824996468378
24	0.0062289048587870	0.0051003445645889	0.9380824996468378	0.0568171557885733
25	0.0275914641564558	0.1372353674781935	0.0527920579882166	0.8099725745335899
26	0.0275914641564558	0.0527920579882166	0.8099725745335899	0.1372353674781935
27	0.0275914641564558	0.8099725745335899	0.1372353674781935	0.0527920579882166
28	0.0275914641564558	0.0527920579882166	0.1372353674781935	0.8099725745335899
29	0.0275914641564558	0.1372353674781935	0.8099725745335899	0.0527920579882166
30	0.0275914641564558	0.8099725745335899	0.0527920579882166	0.1372353674781935

33点

degree = 12	$\omega$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$
1	0.0628582242177928	0.4575792299756397	0.2712103850121801	0.2712103850121801
2	0.0628582242177928	0.2712103850121801	0.2712103850121801	0.4575792299756397
3	0.0628582242177928	0.2712103850121801	0.4575792299756397	0.2712103850121801
4	0.0061662610515680	0.9573652990935371	0.0213173504532314	0.0213173504532314
5	0.0061662610515680	0.0213173504532314	0.0213173504532314	0.9573652990935371
6	0.0061662610515680	0.0213173504532314	0.9573652990935371	0.0213173504532314
7	0.0347961129306722	0.7448477089170307	0.1275761455414847	0.1275761455414847
8	0.0347961129306722	0.1275761455414847	0.1275761455414847	0.7448477089170307
9	0.0347961129306722	0.1275761455414847	0.7448477089170307	0.1275761455414847
10	0.0257310664404716	0.0235652204524120	0.4882173897737940	0.4882173897737940
11	0.0257310664404716	0.4882173897737940	0.4882173897737940	0.0235652204524120
12	0.0257310664404716	0.4882173897737940	0.0235652204524120	0.4882173897737940
13	0.0436925445380422	0.1205512154111223	0.4397243922944389	0.4397243922944389
14	0.0436925445380422	0.4397243922944389	0.4397243922944389	0.1205512154111223
15	0.0436925445380422	0.4397243922944389	0.1205512154111223	0.4397243922944389
16	0.0403715577664235	0.1153434945348302	0.2757132696854231	0.6089432357797466
17	0.0403715577664235	0.2757132696854231	0.6089432357797466	0.1153434945348302
18	0.0403715577664235	0.6089432357797466	0.1153434945348302	0.2757132696854231
19	0.0403715577664235	0.2757132696854231	0.1153434945348302	0.6089432357797466
20	0.0403715577664235	0.1153434945348302	0.6089432357797466	0.2757132696854231
21	0.0403715577664235	0.6089432357797466	0.2757132696854231	0.1153434945348302
22	0.0223567732023250	0.6958360867877518	0.2813255809899657	0.0228383322222825
23	0.0223567732023250	0.2813255809899657	0.0228383322222825	0.6958360867877518
24	0.0223567732023250	0.0228383322222825	0.6958360867877518	0.2813255809899657
25	0.0223567732023250	0.2813255809899657	0.6958360867877518	0.0228383322222825
26	0.0223567732023250	0.6958360867877518	0.0228383322222825	0.2813255809899657
27	0.0223567732023250	0.0228383322222825	0.2813255809899657	0.6958360867877518
28	0.0173162311086448	0.8580140335440571	0.1162519159076337	0.0257340505483093
29	0.0173162311086448	0.1162519159076337	0.0257340505483093	0.8580140335440571
30	0.0173162311086448	0.0257340505483093	0.8580140335440571	0.1162519159076337
31	0.0173162311086448	0.1162519159076337	0.8580140335440571	0.0257340505483093
32	0.0173162311086448	0.8580140335440571	0.0257340505483093	0.1162519159076337
33	0.0173162311086448	0.0257340505483093	0.1162519159076337	0.8580140335440571

37点

degree = 13	$\omega$	$\alpha$	$\beta$	$\gamma$
1	0.0666653872953335	0.3333333333333333	0.3333333333333333	0.3333333333333333
2	0.0563713292358117	0.1416807197799281	0.4291596401100359	0.4291596401100359
3	0.0563713292358117	0.4291596401100359	0.4291596401100359	0.1416807197799281
4	0.0563713292358117	0.4291596401100359	0.1416807197799281	0.4291596401100359
5	0.0325457838693582	0.7510849427830980	0.1244575286084510	0.1244575286084510
6	0.0325457838693582	0.1244575286084510	0.1244575286084510	0.7510849427830980
7	0.0325457838693582	0.1244575286084510	0.7510849427830980	0.1244575286084510
8	0.0270477517731175	0.0251427759355999	0.4874286120322001	0.4874286120322001
9	0.0270477517731175	0.4874286120322001	0.4874286120322001	0.0251427759355999
10	0.0270477517731175	0.4874286120322001	0.0251427759355999	0.4874286120322001
11	0.0570368144345473	0.5483198029127419	0.2258400985436290	0.2258400985436290
12	0.0570368144345473	0.2258400985436290	0.2258400985436290	0.5483198029127419
13	0.0570368144345473	0.2258400985436290	0.5483198029127419	0.2258400985436290
14	0.0384620217406681	0.0712748780489602	0.2845204640998197	0.6442046578512201
15	0.0384620217406681	0.2845204640998197	0.6442046578512201	0.0712748780489602
16	0.0384620217406681	0.6442046578512201	0.0712748780489602	0.2845204640998197
17	0.0384620217406681	0.2845204640998197	0.0712748780489602	0.6442046578512201
18	0.0384620217406681	0.0712748780489602	0.6442046578512201	0.2845204640998197
19	0.0384620217406681	0.6442046578512201	0.2845204640998197	0.0712748780489602
20	0.0091386182221638	0.0049357216609328	0.2862149627515325	0.7088493155875348
21	0.0091386182221638	0.2862149627515325	0.7088493155875348	0.0049357216609328
22	0.0091386182221638	0.7088493155875348	0.0049357216609328	0.2862149627515325
23	0.0091386182221638	0.2862149627515325	0.0049357216609328	0.7088493155875348
24	0.0091386182221638	0.0049357216609328	0.7088493155875348	0.2862149627515325
25	0.0091386182221638	0.7088493155875348	0.2862149627515325	0.0049357216609328
26	0.0039409579423300	0.9507950133283191	0.0328540068339617	0.0163509798377192
27	0.0039409579423300	0.0328540068339617	0.0163509798377192	0.9507950133283191
28	0.0039409579423300	0.0163509798377192	0.9507950133283191	0.0328540068339617
29	0.0039409579423300	0.0328540068339617	0.9507950133283191	0.0163509798377192
30	0.0039409579423300	0.9507950133283191	0.0163509798377192	0.0328540068339617
31	0.0039409579423300	0.0163509798377192	0.0328540068339617	0.9507950133283191
32	0.0175133312225319	0.0267326428038449	0.1245253738274434	0.8487419833687117
33	0.0175133312225319	0.1245253738274434	0.8487419833687117	0.0267326428038449
34	0.0175133312225319	0.8487419833687117	0.0267326428038449	0.1245253738274434
35	0.0175133312225319	0.1245253738274434	0.0267326428038449	0.8487419833687117
36	0.0175133312225319	0.0267326428038449	0.8487419833687117	0.1245253738274434
37	0.0175133312225319	0.8487419833687117	0.1245253738274434	0.0267326428038449