堆的基本概念
堆是一棵二叉树，且是一棵完全二叉树。什么是完全二叉树？先介绍一下什么是满二叉树，满二叉树是指除最后一层叶节点没有子节点外，其余每个节点都有两个子节点的二叉树。如下图所示：
满二叉树一定是一棵完全二叉树，当满二叉树最后一层不满时，且最后一层从左到右都为连续的，则被称为完全二叉树，下面几种都是完全二叉树。
堆的性质
由于堆是完全二叉树，从完全二叉树的根节点开始，从上到下，从左到右依次从0开始编号。
观察编号规则我们可以得出一条重要结论：如果完全二叉树的某一节点编号为n，则其左子节点（如果存在）编号为2n+1，其右子节点（如果存在）编号为2n+2，其父节点（如果存在）编号为(n-1)/2。
从上图可以看出，堆作为一棵完全二叉树，其存储结构可以直接使用数组进行存储，数组的下标即为堆的节点位置标号。
大顶堆与小顶堆
堆的这种看似无序的数据结构，如果给堆中父节点和其子节点增加某种规则，则可以生成两种非常有用的结构：大顶堆和小顶堆。
大顶堆：父节点的键值大于等于任一子节点的键值。
小顶堆：父节点的键值小于等于任一子节点的键值。
因此，大顶堆根节点是堆中最大的节点，其他节点都小于等于根节点；小顶堆则相反。
堆的算法
结合堆的数组存储结构和大小顶堆的定义，堆的操作主要为“添加元素”和“删除元素”。本文以大顶堆为例，介绍堆操作的实现原理。
添加元素
如果堆为空，则直接创建堆的根节点；若不为空，假设堆为[88,66,43,45,33,8,24,16,29,4]，添加76，则需要执行以下步骤：
将该元素添加在堆末尾；
比较该元素和其父节点，若大于父节点，则与父节点交换后，再和新的父节点比较，如果还大于父节点，则继续交换，直到没有父节点或者小于等于父节点为止。
step1: 先将76添加到堆末尾
step2:比较其与父节点大小，76 > 33，交换两者位置，继续向上比较。
step3: 继续比较其和父节点大小，76 > 66，交换两者位置，继续向上比较。
step4:继续比较，此时该节点小于其父节点，向上比较结束，添加的元素76找到了最终的位置。
可以看出，堆中添加一个元素，需要比较交换的次数最多为该堆的高度，即log2(N)。这种自底向上调整使得重新满足堆的性质过程，我们称为向上调整（siftUp)。
删除元素
堆删除元素与添加元素不同，添加元素始终先添加在堆末尾，然后再向上调整至结束；而删除元素则可以是删除堆中任一位置的元素。下面以大顶堆为例介绍堆中删除元素操作的实现原理。
1、当删除的节点是根节点时，操作如下：
将待删根节点和堆尾节点交换后删除；
此时将新的头节点与其左右子节点比较，将其中较大的节点与头节点比较交换；此时再比较该被交换下来的“头节点”和其子节点，并继续比较交换，直到其无左右子节点或大于等于任一子节点为止。
这种自顶向下调整的过程，我们称为向下调整（siftDown)。
step1: 待删除元素88为堆的根节点。
steps2:将堆尾节点33和待删除的根节点88交换后，删除堆尾节点88。
step3:比较33和其左右子节点76和43，将较大76和33进行比较，大于33，交换76和33的位置。
step4:继续比较33和其左右子节点45,66，将较大的66和33比较，大于33，交换66和33的位置。
step5:继续比较33和其左右子节点4，其只有一个节点，且33>4，则无需交换，向下比较结束。
2、当删除的节点是中间某节点时，操作如下：
与删除根节点一样，将待删节点和堆尾节点交换后删除。
由于被删除的是中间节点，若交换后节点大于其父节点，则与其父节点交换并进行向上调整(siftUp)直至调整结束；若交换后节点小于其子节点，则将其中较大的子节点与其比较交换并进行向下调整(siftDown)直至调整结束。
step1：待删除元素76为中间节点。
step2:将待删节点76与堆尾节点33交换后删除。
step3:交换后的33节点小于其父节点88，满足大顶堆的性质，则无需向上调整；则将其与子节点进行比较，向下调整，将其中较大的子节点66和33比较交换位置。
step4:将33继续进行向下调整，33大于其子节点，则调整结束。
3、当删除的节点是堆尾节点时，则直接删除即可，因为并不会影响堆的性质。
堆的算法实现
从前文可知堆的操作始终围绕两个核心过程：向上调整(siftUp)和向下调整(siftDown)。以大顶堆为例实现代码如下：
/**
* arr[i],父节点arr[(i-1)/2]
**/
private void siftUp(int i) {
int parent = (i - 1) / 2;
while (parent >= 0) {
if (((T)elements[i]).compareTo((T)elements[parent]) > 0) {
swap(elements, i, parent);
i = parent;
parent = (i - 1) / 2;
} else {
break;
}
}
}
/**
*arr[i],其子节点为 arr[2i+1],arr[2i+2]
*/
private void siftDown(int i) {
int l = 2 * i + 1;
while (l < count) {
//假定l是最大的
int r = l +1;
//将最大的设置为l
if (r < count && ((T)elements[r]).compareTo((T)elements[l]) > 0){
l = r;
}
//最大的child比较交换
if (((T)elements[l]).compareTo((T)elements[i]) > 0){
swap(elements,l,i);
i = l;
l = 2 * i + 1;
}
}
}完整代码
https://gitee.com/programmer_online/codes/7vgta3ymekr80ucx2fjnq33
总结
本文主要讲述了堆的数据结构，及其元素添加、删除算法的实现原理，最后给出了完整代码。下一篇将介绍堆在Java中的实现：PriorityQueue（优先级队列），随后我们可以轻松搞定关于大小堆的大部分算法难题。
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