莫比乌斯acm实战

2019-08-21 437 阅读2分钟

参考博客链接，部分内容参考《初等数论及其应用》

一些约定

为了便于说明，本文使用了一些数论中的常用约定，如下：

1. 艾弗森约定

$[expresion]$ 为 $bool$ 表达式，值为 $0$ 或 $1$
当且仅当 $expresion$ 为真时为 $1$ ，否则为 $0$

2. 最大公因子

$(i,j)$ 表示 $gcd(i,j)$

3. 平方因子

是平方数的因子，即可以写成 $k^2$ 的因子 $x$

4. 平方因子数

含有平方因子的数 ###3 4. 算术(唯一)分解定理
每个大于 $1$ 的正整数都可以被唯一地写成素数的乘积，在乘积中的素因子按照非降序排列

5. 算术函数

定义域是正整数的函数

6. 和函数

设 $f$ 是一个算术函数，那么

F(n)=\sum_{i|n}{f(d)}

代表 $f$ 在 $n$ 的所有正因子处的值之和.函数 $F$ 称为 $f$ 的和函数.

7. 乘(积)性函数

如果算术函数 $f$ 对任意两个互素的正整数 $n$ 和 $m$ ，均有 $f(mn)=f(m)f(n)$ ，就称为积性函数
如果算术函数 $f$ 对任意两个正整数 $n$ 和 $m$ ，均有 $f(mn)=f(m)f(n)$ ，就称为完全积性函数

8. 积性函数的性质

如果 $f$ 是一个积性函数，且对 $n$ 有素幂因子分解 $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_s^{a_s}$ ，那么 $f(n)=f(p_1^{a_1})f(p_2^{a_2})...f(p_s^{a_s})$
如果 $f$ 是积性函数，那么 $f$ 的和函数 $F$ 也是积性函数

根据基本性质，简单分解和式证明

反过来，如果 $f$ 的和函数 $F$ 是积性函数，那么 $f$ 也是积性函数

根据莫比乌斯反演证明加简单分解和式证明

莫比乌斯函数

\mu(n)=
\begin{cases}
1 & \text{如果 $n = 1$} \\
(-1)^k & \text{如果 $n = p_1p_2...p_k,\ p_i为不同的素数$ }\\
0 & \text{其他情形}
\end{cases}

可以理解成：

$n$ 大于 $1$ 时且 $n$ 是平方因子数时莫比乌斯函数值为 $0$
否则从 $n$ 的唯一分解定理中根据素数的个数取奇偶即可

莫比乌斯函数的和函数性质

莫比乌斯函数的和函数满足

F(n)
=\sum_{i|n}{f(d)}
=\begin{cases}
1 & \text{若 $n = 1$} \\
0 & \text{若 $n > 1$ }
\end{cases}
=[\ n=1\ ]

证明：

首先考虑 $n=1$ 的情形，有

F(n)=
\sum_{d|n}{\mu(d)}=
\mu(1)=
1

现在假设 $p$ 是素数， $k$ 是正整数，得到

\begin{align*}
F(p^k)
& = \sum_{1}^n{\mu(d)}=\mu(1)+\mu(p)+\mu(p^2)+...\mu(p^k)\\
& = 1+(-1)+0+...+0\\
& = 0
\end{align*}

其次，设 $n$ 是一个大于等于 $1$ 的正整数，其素幂因子分解为 $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_s^{a_s}$
因为 $\mu$ 是积性函数，故它的和函数 $F(n)$ 也是积性函数，所以 $F(n)=F(p_1^{a_1})F(p_2^{a_2})...F(p_s^{a_s})$
因为等式右边每个因子都是 $0$ ，故 $F(n)=0$

莫比乌斯反演公式

若 $f$ 是算术函数， $F$ 为 $f$ 的和函数，对任意正整数 $n$ 满足

F(n)=\sum_{d|n}f(d)

则对任意正整数 $n$ ，

f(n)=
\sum_{d|n}F(\frac{n}{d})

$\frac{n}{d}$ 显然等价于 $n/d$ ，这里只是个人习惯

因子和与因子个数

因子和函数 $\sigma$

整数 $n$ 的所有正因子之和，记为 $\sigma(n)$ 给出 $1\leq n\leq12$ 的 $\sigma(n)$ 的值

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
$\sigma(n)$	$1$	$3$	$4$	$7$	$6$	$12$	$8$	$15$	$13$	$18$	$12$	$28$

因子个数函数 $\tau$

整数 $n$ 的所有正因子之和，记为 $\tau(n)$ 给出 $1\leq n\leq12$ 的 $\tau(n)$ 的值

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
$\tau(n)$	$1$	$2$	$2$	$3$	$2$	$4$	$2$	$4$	$3$	$4$	$2$	$6$

我们可以用和式记号来表示出 $\sigma(n)$ 和 $\tau(n)$

\sigma(n)={\sum_{d|n}{d}}\\
\tau(n)={\sum_{d|n}{1}}

由莫比乌斯反演公式，对所有正整数 $n$ 有

n=\sum\limits_{d|n}{\mu(n/d)\sigma(d)}\\
1=\sum\limits_{d|n}{\mu(n/d)\tau(d)}