什么是二叉堆？

之前我们学习过二叉树，没有了解过二叉堆，从意义字面上还有点相同之处，都有“二叉”两个字(滑稽)

像上图这样的树型结构就是二叉堆，也看不出什么区别啊，就是节点元素值比左孩子小比右孩子大嘛，和二分搜索树一样了。仔细一看还是有点区别的，要想成为二叉堆，必须要满足这样两个条件

是一个完全二叉树
堆中任意一个节点的值不大于其父亲节点的值

满足上面两个条件就是一个名副其实的二叉堆了，这里我们似乎有扯进了一个新的概念，什么是完全二叉树，搞不懂，蒙圈了，和满二叉树有区别不？有的，满二叉树一定是一个完全二叉树，反过来就不是了，感觉不是很直观，上图一探究竟

满二叉树

上图就是一个满二叉树,也就是说除了叶子节点没有左右孩子，其余节点都有左右孩子，这样的二叉树就是满二叉树

完全二叉树

这个树不一定是满的，可能这个节点没有右孩子，也就是元素一层一层的码放，每一层码放满了后在码放下一层，不满的那一部始终是在这个节点的右侧。

在现实世界中满二叉树的情况还是很少的，更多的情况是像完全二叉树这样，总有那么几个元素孤零零在最后一层，相对来说完全二叉树更适用一些，

我们再来看一下这张图，完全二叉树的叶子节点可能都在最下层，也可能在最下层的上一层，图中就是这样的情况

二叉堆的几个特点

二叉堆有最大堆、最小堆，文章一开始图中就有这俩兄弟，他们唯一的区别在于，父亲节点和孩子节点的关系。最大堆是孩子节点不大于其父亲节点的值，最小堆是孩子节点不小于父亲节点

这里的说的最大是根节点最大，最小是根节点最小，以此类推这个节点都大于他的孩子节点的值或小于。这就是特点一，要么是最大堆，要么是最小堆

在说第二个特点前我们思考一个问题，节点元素的大小与节点所处的层级有关系吗？从图中看有练习，在上层也就是靠近根节点的元素大于底层元素，结果是这样吗，仔细发现不是这样，从图中可以看到16比19层级要高，但是16的值却比19要小，所以我们得到一个结论就是节点元素的大小与节点所处的层级无关

但是有一点是可以确定的，父亲节点的值要大于孩子节点（这里我们仅仅谈最大堆）

怎么实现二叉堆？

二叉堆用二叉树实现是可以的，但是有没有可以使用其他数据结构来实现呢，数组可以嘛？

数组作为二叉堆的底层实现

我们说过二叉树中的元素是一层一层的码放的，一层满了再放下一层，而数组的底层设计是开辟一块连续的空间，依次存放数据。有那么一点相同之处，我们大胆的猜测是可以这么做的。

用数组如何表示树的左右孩子呢，有没有规律呢，可以用索引把这种规律给实现了，其实是有规律的，我们给每个节点表上号

把二叉堆按循序存放在一个数组中

我可以发现这样的一个规律，当前这个节点的左孩子索引为index*2，右孩子为index*2+1,不行我们可以试试，索引为4这节点安装前面的公式得到他的左孩子为8右孩子为9，相应的父亲节点索引的公式为index/2取整

通过这么一个规律我们就用数组来实现二叉树，不过这个数组有点怪，索引为0并没有存放元素，不仅浪费空间而且数组的索引都是从0开始，所以不得不改造一下，让0这个地方存放根节点

和上面一样把数据存放到一个数组中

就得到一个索引从0开始的数组了，大功告成，等等~，上面的公式还可以用嘛，一一得一，一二得二，掐指一算，糟了，不能用了，前面的推到重来

公式来了，这长这样的，有点不一样，毕竟开始索引变为了0

相比用二叉树实现二叉堆，这里我们用数组实现的二叉堆可以根据这个节点找到它的父亲节点，之前我实现的二分搜索树没有这个功能，那是不是说用数组实现二叉堆要好一些呢，这个问题我们后面谈到

用代码堆一个二叉堆的结构出来

贴代码

namespace heap;
/**
 * 最大堆
 * @package heap
 */
class MaxHeap
{

    /**
     * 堆元素
     * @var array
     */
    private $data;

    /**
     * MaxHeap constructor.
     */
    public function __construct()
    {
        $this->data = [];
    }

    public function getSize()
    {
        return count($this->data);
    }

    public function isEmpty()
    {
        return count($this->data) == 0;
    }

    /**返回一个完全二叉树的数组表示中，一个索引表示的元素的父亲节点的索引
     * @param $index
     * @return int
     */
    private function parent($index)
    {
        if ($index == 0)
            throw  new \InvalidArgumentException("index-0 does't have parent");
        return floor(($index - 1) / 2);
    }

    /**返回一个完全二叉树的数组表示中，一个索引表示的元素的左孩子的索引
     * @param $index
     * @return int
     */
    private function leftChild($index)
    {
        return $index * 2 + 1;
    }

    /**返回一个完全二叉树的数组表示中，一个索引表示的元素的右孩子的索引
     * @param $index
     * @return int
     */
    private function rightChild($index)
    {
        return $index * 2 + 2;
    }
}