组合数学01

2019-08-06 341 阅读1分钟

杨辉三角

又叫做帕斯卡三角

\begin{matrix}
&&&&&&&1\\\\
&&&&&&1&&1\\\\
&&&&&1&&2&&1\\\\
&&&&1&&3&&3&&1\\\\
&&&1&&4&&6&&4&&1\\\\
&&1&&5&&10&&10&&5&&1\\\\
&1&&6&&15&&20&&15&&6&&1\\\\
1&&7&&21&&35&&35&&21&&7&&1
\end{matrix}

按照上面的写法，杨辉三角的第 $n$ 行第 $m$ 列即为 $C_{n}^{m}$

$n$ 和 $m$ 都是以0开始

组合数公式

$C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$ （杨辉恒等式）

这就是一个问题转化，等式右边第一项表示一定取最后一件物品，第二项则表示最后一件物品不取，加起来就是从n件物品里面取出k件的组合数。

$C_n^k=C_n^{n-k}$ （杨辉三角对称性）
$\sum_{i=0}^nC_n^i=2^n$ （单行和）

二项式定理： ${(1+1)}^{n}=C_n^0+C_n^1+C_n^2+...+C_n^n$ (因为 $1$ 的任意次方都是 $1$ ,所以直接省略)

二项式的另一个结论： ${(a+b)}^{n} = k_0a^n+k_1a^{n-1}b+k_2a^{n-2}b^2+...+k_nab^{n}$ 的系数 $k_0,k_1,k_2...k_n$ 可以就是杨辉三角的第 $n$ 行的所有数字( $n$ 从 $0$ 开始)

$\sum_{i=0}^n(C_n^i)^2=C_{2n}^n$ （单行平方和）

个人想法： $(C_n^i)^2=(C_n^i)\cdot(C_n^{n-i})$ ，相当于从两个大小为 $n$ 的堆里分别拿出 $i$ 个和 $n-i$ 个，所以和从大小为 $2n$ 的堆中拿出 $n$ 个是一样的。

$\sum_{i=0}^nC_{k+i}^k=C_{n+k+1}^{k+1}$ （60°斜行和）

$60$ 度就是平行于整个大杨辉三角的外边的线

$F_n=\begin{cases} \sum_{i=0}^{n/2-1}C_{n/2+i}^{2i+1},n\equiv 0(mod\ 2)\\ \sum_{i=0}^{(n-1)/2}C_{(n-1)/2+i}^{2i},n\equiv 1(mod\ 2)\\ \end{cases}$ （30°斜行和等于斐波那契数列）

$30$ 度就是菱形的对角线，可以从左边每一行的 $1$ 开始数。
曾经出过题目！

$C_n^i=\frac{n-i+1}{i}C_n^{i-1}$ （杨辉三角的一行可以递推）

根据组合数公式 $C_n^i=\frac{n\cdot(n-1)\cdot\cdot(n-i+1)}{i\cdot(i-1)\cdot\cdot1}$ $C_n^{i-1}=\frac{n\cdot(n-1)\cdot\cdot(n-i+2)}{(i-1)\cdot\cdot1}$ ，显然！

待补充

计算 $C_n^m\%p$