最大流算法——预流推进HLLP

转载自CSDN的一篇文章https://blog.csdn.net/hechenghai/article/details/42024683

先简单看一下主过程：

int MAXFLOW(){
    hights();
    prepare();
    while (!Q.empty()) {
       u = Q.get;
       for each e in G
       {
           (from u) push(e);
            if (!fixed(u)) 
                reCalc(u);
       }
   }
}

接下来介绍算法过程：

预流推进算法给每一个顶点一个标号h(v)，表示该点到t的最短路（在残量网络中）。

hights过程

就是BFS出初始最短路，计算出每一个结点的h(v)。
可以看作是汇点有“吸力”，使每个结点有不同的负压，在“负压”作用下把来自源点的流吸过去。

预流推进算法的特征是运用了预流来加快运算。
预流说明图中的结点(除s, t)，仅需要满足流入量 >= 流出量。
其中流入量>流出量的结点，我们称之为活动结点。换句话说就是有流可吸，还没吸到地方。
我们的算法就是不断地将活动结点，变为非活动结点，使得预流成为可行流。

prepare过程

即首先将与s相连的边设为满流，并将这时产生的活动结点加入队列Q。
这是算法的开始，以后便重复以下过程直到Q为空：

Push推流过程

(1).选出Q的一个活动结点u。并依次判断残量网络G'中每条边(u, v)，若h(u) = h(v) + 1，则顺着这些边推流，直到Q变成非活动结点（不存在多余流量），同时把所有v加入活动结点的队列。

reCalc过程

(2).如果u还是活动结点。则需要对u进行重新标号：h(u) = min{h(v) + 1}，其中边(u,v)存在于G' 中。然后再将u加入队列。

后面都满流时就吸不动了，负压自然也要重新计算。
可以证明，通过以上算法得到的结果就是最大流。

分析

显然每次循环后标号和残量网络都是相容的。
算法结束时Q为空，只可能是没有活动结点。
因为一开始就把从源所有的流推了出来，只可能是要么能够推到汇要么最后退回源。
显然，一开始源的标号最高，退回源说明源汇之间已被切断，否则总能杀出一条增广路来。

如果该算法的Q是标准的FIFO队列，则时间复杂度为(n2m)
最高标号不会超过n（超过时必无到汇点的路径），所以n个点每个最多重新标号n次，两次标号之间m条边每条最多推流一次。
如果是优先队列，并且标号最高的点优先的话，我们就得到了最高标号预流推进算法，其时间复杂度仅为(n2sqrt(m))，算是比较快的最大流算法了。

哭诉，算法看懂了个大概。无奈网上的参考博客太少，自己有调试不出来合适的模板，不稳。暂时放弃了这种算法的学习和使用。