要解决的问题
导航软件是如何找出两点之间最快路线的？
如果用图来描述，即：图中每个节点表示一个地点，每条边表示一条路线，这些边 有向 并且 有权重。要查找从起点到终点的最佳通路（“最佳”的定义是：构成这条通路的所有边的权重和最小）。
思路
基于广度优先搜索的办法。广度优先在处理社交网络问题时，每个节点被第一次访问，就是最短通路。但地图导航问题最大的不同是，当一个节点第一次被访问到，不一定是最短路径，比如下图的从A到B。所以必须要遍历所有通路，随时更新最小的通路。
升级的方法：狄克斯特拉算法 Dijkstra algorithm
- 核心思想：对于某个节点，如果我们已经发现最优通路，那无需在将来的计算中再考虑这个节点。 狄克斯特拉算法用巧妙的方式，实现了这一点。直接上代码：
"""构造一个路线图"""
import random
class Node:
def __init__(self,geo_id):
self.geo_id = geo_id # 本地点的id
self.neighbours = {} # 相邻地点集合（id:weight 格式）
self.best_pre_neighbour_id = -1
def __str__(self):
return "{}:{}".format(self.geo_id,self.neighbours)
geo_num = 10
relation_num = 15
geo_nodes = []
# 生成所有表示地点的Node
for i in range(geo_num):
geo_nodes.append(Node(i))
# 随机生成若干单向的路线
for i in range(relation_num):
a_id = random.randint(0,user_num-1)
b_id = random.randint(0,user_num-1)
if a_id == b_id:
continue
a_node = geo_nodes[a_id]
weight = random.random()
a_node.neighbours[b_id] = weight # 权重weight表示为从a到b用时
for geo_node in geo_nodes:
print(geo_node)
import queue
def findGeoWithMinWeight(min_weights,finish):
"""找到当前min_weights中最小的节点（当前离source_id最快的地点）"""
min_weight = 1
min_node_id = None
for (k,v) in min_weights.items():
if k in finish:
continue
if v <= min_weight:
min_node_id = k
min_weight = v
# print(min_node_id,min_weight)
return min_node_id,min_weight
def updateWeight(geo_nodes,min_weights,node_id):
"""找到当前节点的所有相邻地点，更新其min_weights值"""
# print(min_weights)
for (k,v) in geo_nodes[node_id].neighbours.items():
if min_weights.get(k) is None or min_weights[k] > min_weights[node_id]+v:
min_weights[k] = min_weights[node_id] + v
geo_nodes[k].best_pre_neighbour_id = node_id
def get_path(geo_nodes,target_id):
print(target_id)
if geo_nodes[target_id].best_pre_neighbour_id >=0:
get_path(geo_nodes,geo_nodes[target_id].best_pre_neighbour_id)
def Dijkstra_process(geo_nodes,source_id,target_id):
"""
@param geo_nodes- 所有地点对象的集合；source_id- 出发点id；target_id- 目标id
@return void
1. 初始化数据
2. 循环
"""
# min_weight指当前检测到的、从source_id到目标点的最快路径（即，最小weight之和。会一直更新。）
min_weights ={}
min_weights[source_id]=0
# finish指所有已经找到min_weight的点的集合，一旦在其中就不参与计算了
finish = set()
# 开始循环：
while True:
min_node_id,min_weight = findGeoWithMinWeight(min_weights,finish)
if min_node_id is None or min_weight is None:
break
finish.add(min_node_id)
updateWeight(geo_nodes,min_weights,min_node_id)
print(finish)
get_path(geo_nodes,target_id)
Dijkstra_process(geo_nodes,1,3)
狄克斯特拉算法的特点体会：
-
明显有动态规划的思想，从众多局部最优解，到整体最优解。
-
体会和"三角形两边之和大于第三边"的关系：一个关键是findGeoWithMinWeight()方法
- 假设mw[x] 是当前 mw 中的最小值，所以它小于等于任何其他一个 mw[xn]。
- 假设存在另一个通路，通过xn达到 x，那么通路的权重总和为 mw[xn] + w[xn, x] ≥ mw[x]。所以我们可以得到一个结论：拥有最小 mw 值的结点 x 不可能再找到更小的 mw 值，可以把它加入集合finish，不在计算
- 要实现这个结论就有一个前提：所有weight都是正数 或者都是负数，或者说单调变化
-
不断将与最小mw相连的点展开，填充mw[]，然后再从mw[]中挑最小的。这有点像广度或深度优先搜索，保证全部遍历，不同的是广度或深度优先搜索每次挑的是队首或队尾。
应用
把边的权重从时间换成比如距离、价格，这样 Dijkstra 算法可以让用户找到地图任意两点之间的最短路线，或者出行的最低价格等等。
总结
- 非加权图寻找最短路径，使用广度优先搜索
- 加权图寻找最短路径，使用狄克斯特拉算法
- 狄克斯特拉算法只适用于有向无环图(directed acyclic gragh，DAG)
- 狄克斯特拉算法需要保证单调变化，所以负权边也不适用狄克斯特拉算法，如果图中包含负权边，需要使用贝尔曼-福德算法(Bellman-Ford algorithm)
