数论——同余式、剩余类【定义】任给，如果和相差一个的倍数，即，就说与模同余，记为，并称为同余式的模。这里，可表示为，所

同余式

【定义】任给 $a,b,m\in Z$ ，如果 $a$ 和 $b$ 相差一个 $m$ 的倍数，即 $m|a-b$ ，就说 $a$ 与 $b$ 模 $m$ 同余，记为 $a\equiv b\ (\mod m)$ ，并称 $m$ 为同余式的模。

这里 $m|a-b$ ，可表示为 $mq=a-b$ ，所以 $a=mq+b$ .

【定理】任给正整数 $m$ ，我们有：

整数 $a$ 与 $b$ 模 $m$ 同余当且仅当它们被 $m$ 除所得的余数相同.
模 $m$ 同余是 $Z$ 上的等价关系，即有：

$a\equiv a \ (\mod\ m)$ ，（自反性）
$a\equiv b\ (\mod\ m)\ => b\equiv a\ (\mod\ m)$ ，（对称性）
$a\equiv b\ (\mod\ m)$ 且 $b\equiv c\ (\mod\ m)$ ， $=> a\equiv c\ (\mod\ m)$ ，其中 $a,b,c$ 为任意的整数. （传递性）

设对 $a,b,c,d\in Z$ 有模 $m$ 同余式 $a\equiv b\ (\mod\ m)$ 与 $c\equiv d\ (\mod\ m)$ ，则

\begin{gather}
a + c \equiv b + d\ (\mod\ m) \\

a-c\equiv b-d\ (\mod\ m) \\

ac\equiv bd\ (\mod\ m)
\end{gather}

对于任意的整系数多项式 $P(x)$ 及整数 $a$ 与 $b$

a\equiv b\ (\mod\ m) => P(a)\equiv P(b)\ (\mod\ m)

证明：

作带余除法 $a=mu+r$ ， $b=mv+s$ ，这里 $u,v\in Z$ 且 $r,s\in \{0,1,\cdots,m-1\}$ .显然 $|r-s|=max\{r,s\}-min\{r,s\}\leq m-1$ ，于是

$a\equiv b\ (mod\ m) <=> m|m(u-v)+r-s <=> m|r-s <=> r-s=0 <=> r=s$

设 $a,b,c\in Z$ ， $a-a=0$ ，故 $a\equiv a \ (\mod\ m)$ ；当 $m|a-b$ 时亦有 $m|b-a$ ，故 $a\equiv b\ (\mod\ m)\ <=> b\equiv a\ (\mod\ m)$ ； $a\equiv b\ (\mod\ m)$ 且 $b\equiv c\ (\mod\ m)$ ， $=>$ $a$ 与 $b$ 被 $m$ 除所得的余数相同且 $b$ 与 $c$ 被 $m$ 除所得的余数相同， $=>$ $a$ 与 $c$ 被 $m$ 除所得的余数相同，即 $a\equiv c \ (\mod\ m)$ .

设 $a-b=mq_1,c-d=mq_2$ ，这里 $q_1,q_2\in Z$ ，则

$\begin{gather} a\pm c=b\pm d+m(q_1\pm q_2) => a\pm c\equiv b\pm d\ (\mod\ m) \\ ac-bd=a(c-d)+(a-b)d=amq_2+mq_1d=m(aq_2+dq_1) => ac\equiv bd\ (\mod\ m) \end{gather}$

设 $P(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_nx^n$ ，这里 $c_0,\cdots,c_n\in Z$ .假如 $a\equiv b\ (mod\ m)$ ，反复运用3知，对 $i=0,1,\cdots,n$ 有 $a^i\equiv b^i\ (mod\ m)$ 与 $c_ia^i\equiv c_ib^i\ (mod\ m)$ ，因而

$P(a)=\sum_{i=0}^{n}c_ia^i\equiv \sum_{i=0}^{n}c_ib^i=P(b)\ (\mod\ m)$

剩余类

【定义】设 $m$ 为正整数，对于 $a\in Z$ ，集合

\{x\in Z:x\equiv a\ (\mod m)\}=\{x=a+mq: q\in Z \}

叫做 $a$ 模 $m$ 的剩余类（或同余类）。全体模 $m$ 的剩余类构成的集合 $Z_m=Z/mZ$ 叫做模 $m$ 的剩余类环。