数论——算数基本定理、欧几里得算法、丢番图方程【定义】对于，如果有使得，则称整除，记为. 若，，且，则. ，也可记为.

整除

【定义】对于 $a,b \in Z$ ，如果有 $q \in Z$ 使得 $aq=b$ ，则称 $a$ 整除 $b$ ，记为 $a|b$ .

关于整除有如下结论：

若 $c=k_1a+k_2b$ ， $e|a$ ，且 $e|b$ ，则 $e|c$ .

最大公因子

【定义】所有同时整除 $a$ 和 $b$ 的整数中，最大的那个，称为 $a$ 和 $b$ 的最大公因子，记为 $(a,b)$ ，也可记为 $gcd(a,b)$ .

【引理】设 $a=bq+c$ ，这里 $a,b,c,q\in Z$ ，则 $(a,b)=(b,c)$ .

证明：由于 $a=bq+c$ ，所有 $b$ 和 $c$ 的公因子同时整除 $b$ 和 $c$ ，所以也能整除 $a$ ，所以也是 $a$ 和 $b$ 的公因子。由于 $c=a-bq$ ，所有 $a$ 和 $b$ 的公因子同时整除 $a$ 和 $b$ ，所以也能整除 $c$ ，所以也是 $b$ 和 $c$ 的公因子。也就是说， $a$ 和 $b$ 的公因子， $b$ 和 $c$ 的公因子是同一拨，那么 $a$ 和 $b$ 的公因子中最大的那个， $b$ 和 $c$ 的公因子中最大的那个当然是同一个了。所以 $(a,b)=(b,c)$ 。

欧几里得算法

欧几里德算法又称辗转相除法，是指用于计算两个正整数 $a$ 和 $b$ 的最大公因子。证明过程主要依据上面的引理 $(a,b)=(b,c)$ 。

代码实现如下：

#include<algorithm>
#include<iostream>

/*
欧几里德算法：辗转求余
原理： gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
当b为0时，两数的最大公约数即为a
*/
int gcd(int a, int b){
    if (a < b){
        std::swap(a, b);
    }
    if (0 == b){
        return a;
    }else{
        return gcd(b, a % b);
    }
}

// 简单测试
int main() {
    int t = gcd(10,25);
    std::cout<<t;
}

扩展欧几里得算法

【定义】对于 $a_1,\cdots,a_n\in Z$ ，我们称 $a_1x_1+ \cdots + a_nx_n(x_1,\cdots,x_n\in Z)$ 为 $a_1,\cdots,a_n$ 的整系数线性组合，并用 $a_1Z+\cdots+a_nZ$ 表示它们构成的集合。

【扩展欧几里得算法】设 $a$ 和 $b$ 是两个正整数（至少有一个非零）， $d=gcd(a,b)$ ，则存在整数 $x$ 和 $y$ 使得 $ax+by=d$ 成立，如果 $a$ 和 $b$ 都是素数，那么存在整数 $x$ 和 $y$ 使得 $ax+by=1$ 成立。

代码实现：

def egcd(a,b):
    if 0 == b:
        return a,1,0
    gcd,k1,k2 = egcd(b, a%b)
    return gcd,k2,k1-a/b*k2

互素

最大公因子的最小可能取值是 $1$ ，当 $(a,b)=1$ ，即 $a$ 和 $b$ 的最大公因子为 $1$ 时，我们称 $a$ 和 $b$ 互素。

乘法逆元

当 $(a,b)=1$ 时，有时候我们很希望求得一个数 $k$ ， $0\leq k \lt b$ ，使 $ka\ mod\ b=1$ ，这样的数我们称为 $a$ 的乘法逆元，这看起来就像是在 $0$ 到 $b-1$ 这些整数中找到 $a$ 的倒数一样。那怎么找到这样的数呢？

扩展欧几里得算法可以帮我们解决这个问题。

由于 $(a,b)=1$ ，根据扩展欧几里得算法，可求得两个系数 $k_1$ 和 $k_2$ ，使得 $k_1a+k_2b=(a,b)=1$ ，所以有 $k_1a=-k_2b+1$ ，所以 $k_1a\ mod\ b=1$ ，所以 $(k_1\ mod\ b)a\ mod\ b=1$ ，而 $0\leq(k_1\ mod\ b)\lt b$ ，所以 $(k_1\ mod\ b)$ 就是我们想要的那个乘法逆元。

算数基本定理

【算数基本定理（整数的唯一分解定理）】任何大于 $1$ 的整数 $n$ 可表示成有限个（可重复）素数的乘积，而且不计乘积中因子顺序时分解还是唯一的。

根据算数基本定理，大于 $1$ 的整数 $n$ 唯一地表示成 $p_1^{a_1}\cdot \cdots \cdot p_r^{a_r}$ 的形式，这里 $p_1<\cdots<p_r$ 为不同素数， $a_1,\cdots,a_r\in{Z^{+}}$ ，我们称这样的形式为 $n$ 的标准（素数）分解式。

欧拉函数

对任意一个正整数 $n$ ，在 $1$ 到 $n$ 的这个整数里，显然有些和 $n$ 是互素的，而有些和 $n$ 是不互素的，那些和 $n$ 互素的整数的数量就是 $n$ 的欧拉函数，记作 $\phi(n)$ 。

那么 $\phi(n)$ 该怎么计算呢？

我们都知道任意整数 $n$ 都可以表示成它的所有素因子的乘积：

n=p_1^{l_1}p_2^{l_2}\cdots p_s^{l_s}\tag{1}

所以所有那些和 $n$ 不互素的数，一定和 $n$ 有其中某个素因子作为公共因子。所以我们只要从 $1$ 到 $n$ 中的所有整数中，是 $p_1,p_2,\cdots,p_s$ 的倍数的依次剔除，剩下的就是与 $n$ 互素的数。

例如， $p_1$ 的倍数一共有多少个呢，由于 $p_1$ 的倍数在 $1$ 到 $n$ 中是均匀分布的，所以占据的比例是 $\frac{1}{p_1}$ ，剔除 $p_1$ 的倍数后，还剩下 $n(1-\frac{1}{p_1})$ 个；在剩下的数中，由于 $p_2$ 的倍数在 $1$ 到 $n$ 中也是均匀分布的，所以占据的比例是 $\frac{1}{p_1}$ ，所以再剔除 $p_2$ 的倍数后，剩下 $n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})$ 个。以此类推，当把所有素因子的整数倍都剔除后，剩下的数共有 $n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdots (1-\frac{1}{p_s})$ 个。即： $\phi(n) = n\prod_{i=1}^{s}(1-\frac{1}{p_s}) \tag{2}$ $

由此可见，求欧拉函数的关键在于求出 $n$ 的所有素因子，即对 $n$ 做素因子分解。

有一种特殊情况， $n$ 为素数，那么 $n$ 仅有一个素因子，即它自己。此时 $\phi(n)=n(1-\frac{1}{n})=n-1$ 。

还有一种特殊情况， $n$ 仅有两个素因子，即 $n=pq$ ，那么 $\phi(n)=pq(1-\frac{1}{p})(1-\frac{1}{q})=(p-1)(q-1)$ 。如果已知 $p$ 和 $q$ ，显然 $\phi(n)$ 是好求的；而如果仅知道 $n$ ，而不知道 $p$ 和 $q$ ，那么必须要先对 $n$ 做素因子分解，得到 $p$ 和 $q$ ，才能求得 $\phi(n)$ 。

如果这两个素因子 $p,q$ 都极大，那么当然 $n$ 也就极大。要从 $1$ 到 $n$ 这 $n$ 个数中找出这两个素因子，就如同大海捞针，复杂度极高。

丢番图方程

古希腊数学家丢番图首次系统地研究了方程的整数解问题，现在涉及整数解的方程都叫做丢番图方程，也叫不定方程。

丢番图方程，又称不定方程，是未知数只能使用整数的整数系数多项式等式；即形式如 $a_1x_1^{b_1} + a_2x_2^{b_2}+\cdots +a_nx_n^{b_n}=c$ 的等式，并且其中所有的 $a_j$ , $b_j$ 和 $c$ 均是整数。若其中能找到一组整数解 $m_1$ , $m_2\cdots m_n$ 者则称之为有整数解。线性丢番图方程为线性整数系数多项式等式，即此多项式为次数为 $0$ 或 $1$ 的单项式的和。

【定理】设 $a_1,\cdots,a_n,b\in Z$ ，则线性丢番图方程 $a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b$ 有整数解当且仅当 $(a_1,\cdots,a_n)|b$ .

贝祖等式

对任何整數 $a,b$ 和 $m$ ，关于未知数 $x$ 和 $y$ 的线性丢番图方程（称为贝祖等式）： $ax+by=m$ .有整数解时当且仅当 $m$ 是 $a$ 和 $b$ 的最大公约数 $d$ 的倍数，即 $(a,b)|m$ .