1.常用的四种查找算法
- 顺序(线性)查找
- 二分查找
- 差值查找
- 斐波那契查找
2. 线性查找算法
例：从数列 {1, 9, 11, -1, 34, 89} 中查找
要求: 如果找到了，就提示找到，并给出下标值。
public class SeqSearch {
public static void main(String[] args) {
int arr[] = {1, 9, 11, -1, 34, 89};
int index = seqSearch(arr, 11);
if (index == -1) {
System.out.println("没有找到");
} else {
System.out.println("找到，下标为：" + index);
}
}
public static int seqSearch(int[] arr, int value) {
//线性查找是逐一比对，发现右相同值，就返回下标
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
if (arr[i] == value) {
return i;
}
}
return -1;
}
}
output:
找到，下标为：2
3. 二分查找
3.1 二分查找的思路分析
-
首先确定该数组的中间的下标：
mid = (left + right) / 2
-
然后让需要查找的数 findVal 和 arr[mid] 比较
- findVal > arr[mid] , 说明你要查找的数在 mid 的右边, 因此需要递归的向右查找。
- findVal < arr[mid], 说明你要查找的数在 mid 的左边, 因此需要递归的向左查找。
- findVal == arr[mid] 说明找到，就返回。
利用递归的方法来查找 findVal。
结束查找的时机：
- 找到就结束递归。
- 递归完整个数组，仍然没有找到findVal ，也需要结束递归，即当 left > right 时，就结束递归。
例：对有序数组 {1, 8, 10, 89, 1000, 1000, 1000, 1234} 进行二分查找
- 输入一个数看看该数组是否存在此数，并且求出下标，如果没有就提示"没有这个数"。
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
//使用二分查找的前提是：该数组是有序的
public class BinarySearch {
public static void main(String[] args) {
int arr[] = {1, 8, 10, 89, 1000, 1000, 1000, 1234};
//int resIndex = binarySearch(arr, 0, arr.length - 1, 1000);
//System.out.println("resIndex = " + resIndex);
List<Integer> resIndexList = binarySearch2(arr, 0, arr.length - 1, 1000);
System.out.println("resIndexList = " + resIndexList);
}
//二分查找算法
/**
* @param arr 数组
* @param left 左边的索引
* @param right 右边的索引
* @param findVal 要查找的值
* @return 如果找到就返回下标，如果没有找到，就返回-1
*/
public static int binarySearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) {
//当 eft > right 时，说明递归完了整个数组，但是没有找到
if (left > right) {
return -1;
}
int mid = (left + right) / 2;
int midVal = arr[mid];
if (findVal > midVal) {//向右递归
return binarySearch(arr, mid + 1, right, findVal);
} else if (findVal < midVal) {//向左递归
return binarySearch(arr, left, mid - 1, findVal);
} else {
return mid;
}
}
//返回所有查找值的下标
/**
* 思路分析：
* 1. 在找到mid索引值时，不要马上返回
* 2. 向mid索引值的左边扫描，将所有查找值元素的下标，加入到集合ArrayList中
* 3. 向mid索引值的右边扫描，将所有查找值元素的下标，加入到集合ArrayList中
* 4. 将ArrayList返回
*/
public static List<Integer> binarySearch2(int[] arr, int left, int right, int findVal) {
//当left > right 时，说明递归完了整个数组，但是没有找到
if (left > right) {
return new ArrayList<Integer>();
}
int mid = (left + right) / 2;
int midVal = arr[mid];
if (findVal > midVal) {//向右递归
return binarySearch2(arr, mid + 1, right, findVal);
} else if (findVal < midVal) {//向左递归
return binarySearch2(arr, left, mid - 1, findVal);
} else {
List<Integer> resIndexList = new ArrayList<>();
int temp = mid - 1;
while (true) {
if (temp < 0 || arr[temp] != findVal) {//退出
break;
}
//否则，就将temp放入到resIndexList
resIndexList.add(temp);
temp -= 1;//temp左移
}
resIndexList.add(mid);
temp = mid + 1;
while (true) {
if (temp > arr.length - 1 || arr[temp] != findVal) {
break;
}
//否则，就将temp放入到resIndexList
resIndexList.add(temp);
temp += 1;
}
return resIndexList;
}
}
}
output:
1. resIndex = 5
2. resIndexList = [4, 5, 6]
4. 有序数组中的插值查找
4.1 插值查找原理介绍
- 插值查找算法类似于二分查找，不同的是插值查找每次从自适应的 mid 处开始查找。
- 差值查找中的求 mid 索引的公式，low 表示左边索引 left，high 表示右边索引 right，key 就是前面我们讲的 findVal。
| 二分查找 | 差值差值 |
|---|---|
 |
 |
- int mid = low + (high - low) * (key - arr[low]) / (arr[high] - arr[left)
4.2 代码实现
import java.util.Arrays;
public class InsertValueSearch {
public static void main(String[] args) {
int[] arr = new int[100];
for (int i = 0; i < 100; i++) {
arr[i] = i + 1;
}
//System.out.println(Arrays.toString(arr));
//int arr[] = {1, 8, 10, 89, 1000, 1000, 1000, 1234};
int index = insertValueSearch(arr, 0, arr.length - 1, 10);
System.out.println("index = " + index);
}
//编写插值查找算法
//说明：插值查找算法，也要求数组是有序的
/**
* @param arr 数组
* @param left 左边索引
* @param right 右边索引
* @param findVal 查找值
* @return
*/
public static int insertValueSearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) {
System.out.println("查找次数");
//注意：findVal < arr[0] || findVal > arr[arr.length - 1]必须需要
//否则得到的mid可能越界
if (left > right || findVal < arr[0] || findVal > arr[arr.length - 1]) {
return -1;
}
//求出mid
int mid = left + (right - left) * (findVal - arr[left]) / (arr[right] - arr[left]);
int midVal = arr[mid];
if (findVal > midVal) {//说明应该向右递归
return insertValueSearch(arr, mid + 1, right, findVal);
} else if (findVal < midVal) {//说明应该向左递归
return insertValueSearch(arr, left, mid - 1, findVal);
} else {
return mid;
}
}
}
output:
查找次数
index = 9
4.3 差值查找注意事项
- 数据量较大、关键字分布比较均匀时，采用差值查找，速度较快。
- 关键字分布不均匀时，差值查找不一定比二分查找块。
5. 斐波那契(黄金分割)查找
5.1 斐波那契查找的原理
黄金分割：把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个神奇的数字，会带来意向不大的效果。
斐波那契数列：后面的数由之前两个数相加得到，例：{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55}。斐波那契数列相邻两个数的比值无限接近黄金分割值0.618。
斐波那契查找：与前面两个查找的原理相似，仅仅是改变了中间节点的位置。mid 不是中间也不是由差值得到，而是位于黄金分割点附近，即 mid = low + F(k-1) - 1。
5.2 对于 F(k-1) - 1 的理解
- 由斐波那契数列的性质中可以得到：
上式说明：只要顺序表的长度为为 F[k]-1，则可将其分为 F[k-1]-1 和 F[k-2]-1 这两段，中间的位置为：
上述过程可由下图表示：
- 类似的，分成两段之后的每一个子段也可按照相同的方式进行分割。
- 问题是顺序表的长度不一定正好就是 F[k]-1，所以当顺序表的长度较小时，需要将其长度增加，增加位置值均为最后一个数的值。利用如下代码来寻找合适大小的斐波那契数列中的数(也就是F[k]-1)，其刚好大于或等于顺序表的的长度即可。
while (n > fib(k) - 1)//fib()为斐波那契数列
k++;
5.3 代码实现
import java.util.Arrays;
public class FibonacciSearch {
public static int maxSize = 20;
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {1, 8, 10, 89, 1000, 1234};
System.out.println(fibSearch(arr, 1));
}
//后面mid = low + F(k - 1) - 1，需要使用到斐波那契数列，因此需要先获取到一个斐波那契数列
//使用非递归方法得到一个斐波那契数列
public static int[] fib() {
int[] f = new int[maxSize];
f[0] = 1;
f[1] = 1;
for (int i = 2; i < maxSize; i++) {
f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
}
return f;
}
//编写斐波那契查找算法
//使用非递归的方式编写算法
/**
* @param a 数组
* @param key 需要查找的关键码(值)
* @return 返回对应的下标，如果没有返回-1
*/
public static int fibSearch(int[] a, int key) {
int low = 0;
int high = a.length - 1;
int k = 0;//表示斐波那契分割数值的下标
int mid = 0;
int f[] = fib();//获取斐波那契数列
//获取斐波那契分割数值的下标
while (high > f[k] - 1) {
k++;
}
//因为 f[k] 的值可能大于数组a的长度，因此需要使用Arrays类，构造一个新的数组，并指向a[]
//不足的部分会使用0来填充(即 a.length < f[k].length时)
int[] temp = Arrays.copyOf(a, f[k]);
//实际上需要使用a数组最后的数填充temp
//例：temp = {1, 8, 10, 89, 1000, 1234, 0, 0, 0} -> {1, 8, 10, 89, 1000, 1234, 1234, 1234, 1234}
for (int i = high + 1; i < temp.length; i++) {
temp[i] = a[high];
}
//使用while循环进行处理，找到key
while (low <= high) {//只要这个条件满足，就寻找
mid = low + f[k - 1] - 1;
if (key < temp[mid]) {//应该继续向数组的前面查找(左边)
high = mid - 1;
//为什么是k？
//说明：
//1. 全部元素 = 前面元素 + 后面元素
//2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
//因为前面右 f[k-1] 个元素，所以继续拆分为 f[k-1] = f[k-2] + f[k-3]
//即在 f[k-1] 的前面继续查找
//即下次循环时 mid = f[k-1-1] - 1
k--;
} else if (key > temp[mid]) {//应该继续向数组的后面查找(右边)
low = mid + 1;
//为什么是 k -= 2
//说明：
//1. 全部元素 = 前面元素 + 后面元素
//2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
//3. 因为后面有 f[k-1] ，所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-3] + f[k-4]
//4. 即在 f[k-2] 的前面进行查找
//5. 即下次循环 mid = f[k - 1 - 2] - 1
k -= 2;
} else {//找到了
//需要确定，返回的是哪个下标
if (mid <= high) {
return mid;
} else {
return high;
}
}
}
return -1;
}
}
