算法时间复杂度

算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记做： T(n) = O(f(n)) . 它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n) 是问题规模n的某个函数。

大O阶推导

推导大O阶的方法如下：

• 用常数1取代运行时间中的所有加法常数

• 修改后的运行次数函数中，只保留最高项

• 如果最高阶存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数

• 得到的最后结果就是大O阶。

常数阶

例：

int sum = 0, n = 100;printf("hello world\n");printf("hello world\n");printf("hello world\n");printf("hello world\n");printf("hello world\n");sum = (1+n)*n /2;

参考上述推导方法一可以知道，上述代码的大O 是 O(1)

线性阶

例：

int i, n = 100; sum = 0;for (i = 0; i < n; i++) {    sum = sum + i;}

上述代码大O为 O(n)。

平方阶

例1：

int i, j, n = 100;for (i = 0; i < n; i++) {    for (j = 0; j < n; j++) {        printf("Hello\n");    }}

外层每执行一次，内层执行100次。总的执行次数为 100 * 100。即 n 的平方。此时 大O 为 O(n^2)

PS:如果是三层嵌套则为 O(n^3)

例2：

int i, j, n = 100;for (i = 0; i < n; i++) {    for (j = i; j < n; j++) {        printf("Hello\n");    }}

根据上述代码可知，总的执行次数为

n + (n-1) + (n-2) + ... + 1 = n(n+1)/2n(n+1)/2 = n^2/2 + n/2

根据上述推导方法，没有常数第一条忽略，第二条只保留最高项，所以可以去掉 n/2 , 第三条去掉与最高项相乘的常数，最终得到结果为 O(n^2)

对数阶

int i = 1, n = 100;while( i < n) {    i = i * 2;}

假设有x个2相乘大于等于n，则退出循环。

2^x = nx = log(2)n

所以大O 为 O(logn)

常见的时间复杂度

例子	时间复杂度	术语
242342	O(1)	常数阶
3n+4	O(n)	线性阶
3n^2+4n+5	O(n^2)	平方阶
n3+2n2+3n+1	O(n^3)	立方阶
3log(2)n + 4	O(logn)	对数阶
2n+3nlog(2)n+14	O(nlogn)	nlogn阶
2^n	O(2^n)	指数阶

时间从小到大依次是：

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

算法空间复杂度

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，记做：S(n) = O(f(n)) . 其中n为问题规模，f(n) 为语句关于n所占存储空间的函数