关于二叉树形态的推导

对于二叉树形态，可以从二叉树本身的规律去找，离不开递推

先考虑只有一个节点的情况，设此时的形态为f(1)种，很明显f(1)=1; 那么有两个节点的时候呢？我们很容易的想到，应该在一个节点的基础上考虑递推关系。所以，当固定一个节点后，有两种情况，一种是左子树一个节点，一种是右子树一个节点，共有两种情况，所以f(2) = f(1)+f(1);当三个节点的时候呢？我们要考虑固定两个节点吗？看样子好像不行，因为固定两个节点的形态不是唯一的。
那么当节点数量大于2的时候，我们是在固定不同的形态的基础下，在安排剩下的节点吗？ 我们应该这样想，固定一个节点就是根节点，二叉树本来就是由左子树，右子树，根节点组成的，所以固定根节点，遍历左右子树。 下图是3个节点的形态图

当固定根节点时，剩下2个节点，分成如下几种情况，左2右0，左1右1，左0右2 这三种情况。 所以f(3)=f(2)+f(1)f(1)+f(2),当有n个节点呢？此时我们固定根节点左右子树的分布情况为(n-1,0),(n-2,1),(n-3,2)...(2,n-3),(1,n-2),所以我们不难推出f(n)=f(n-1)+f(n-2)f(1)+....+f(1)f(n-2)+f(n-1),通过表达式可以看出，这和普通的递归表达式有点区别，不是单纯的看前一步或前两步，而是考虑到从1到n-1的情况，这里我们可以定义f(0)=1,原递推公式可变为f(n) = f(n-1)f(0) + f(n-2)f(1) + f(n-3)f(2) + ... + f(1)f(n-2) +... f(n-1)f(0)，这个表达式叫做Catalan数。那么我们会想这个表达式有没有通项公式呢，答案是肯定的。

Catalan数通项公式推导

在推导通项公式之前，首先说一下生成函数
Catanlan数通向公式推导过程，这里用到了生成函数：我们可以写出f(n)的生成函数:f(x) = f(0)x^0+f(1)x+f(2)x^2+...+...
[f(x)]²= f(0)^2x^0+(f(0)f(1)+f(1)f(0))x+(f(0)f(2)+f(1)f(1)+f(2)f(0))x^2+...+(f(0)f(n-1)+f(1)f(n-2)+...+f(n-1)f(0))x^(n-1)+...
因为f(n) = f(n-1)f(0) + f(n-2)f(1) + f(n-3)f(2) + ... + f(1)f(n-2) +...
所以[f(x)]^2 = f(0)+f(2)x+f(3)x^2+...+f(n)x^(n-1)+...,因为f(0)=f(1)=1,  所以[f(x)]^2 = f(x)-f(1)x = f(x)-x，解得

， 根据广义牛顿二项式，将f(x)进行泰勒级数展开得

所以

Catalan数的应用

使用Catalan数解决的问题

• 进出栈问题：栈是一种先进后出（FILO，First In Last Out）的数据结构．如下图1，1,2,3,4顺序进栈，那么一种可能的进出栈顺序是：1In→2In→2Out→3In→4In→4Out→3Out→1Out, 于是出栈序列为1,3,4,2。那么一个足够大的栈的进栈序列为1,2,3,⋯,n时有多少个不同的出栈序列？

• 凸多边形的三角形划分。一个凸的n边形，用直线连接他的两个顶点使之分成多个三角形，每条直线不能相交，问一共有多少种划分方案。
  这也是非常经典的一道题。我们可以这样来看，选择一个基边，显然这是多边形划分完之后某个三角形的一条边。图中我们假设基边是p1pn，我们就可以用p1、pn和另外一个点假设为pi做一个三角形，并将多边形分成三部分，除了中间的三角形之外，一边是i边形，另一边是n-i+1边形。i的取值范围是2到n-1。所以本题的解c(n)=c(2)*c(n-1)+c(3)*c(n-2)+...c(n-1)*c(2)。令t(i)=c(i+2)。则t(i)=t(0)*t(i-1)+t(1)*t(i-2)...+t(i-1)*t(0)。很明显，这就是一个卡特兰数了。

• 在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来，使得所得到的n条线段不相交的方法数。

• 矩阵链乘：P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？