最近在coursera上学完了Mathematics for Machine Learning课程，整理下知识点以做备忘。

矩阵乘向量

矩阵乘向量，其作用是改变向量所处的坐标系，对坐标系做拉伸、旋转、扭曲等操作。

举个例子，假设有个向量

意味着 $r$ 在 $x$ 轴坐标为 $2$ ，在 $y$ 轴的坐标为 $3$ ，即

r = 2\begin{bmatrix}1\\\\0\end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix}0\\\\1\end{bmatrix}

对应的图像是

假如我们想要将 $x$ 轴拉伸一倍， $y$ 轴不变，即 $x$ 轴由 $\begin{bmatrix}1\\\\0\end{bmatrix}$ 变为了 $\begin{bmatrix}2\\\\0\end{bmatrix}$ ， $y$ 轴不变，依然是 $\begin{bmatrix}0\\\\1\end{bmatrix}$ 。

在向量前面乘上变更后的坐标系就能得到我们的目标向量 $z$ 。

z = \begin{pmatrix}2 & 0\\\\0 & 1\end{pmatrix} r = \begin{pmatrix}2 & 0\\\\0 & 1\end{pmatrix} \begin{bmatrix}2\\\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4\\\\3\end{bmatrix}

对应的图像是

同理，若想对 $r$ 顺时针旋转 $90^\circ$ ，即 $x$ 轴由 $\begin{bmatrix}1\\\\0\end{bmatrix}$ 变为了 $\begin{bmatrix}0\\\\-1\end{bmatrix}$ ， $y$ 轴由 $\begin{bmatrix}0\\\\1\end{bmatrix}$ 变为了 $\begin{bmatrix}1\\\\0\end{bmatrix}$ 。

依然是在向量前面乘上变更后的坐标系，得到目标向量 $u$ 。

u = \begin{pmatrix}0 & 1\\\\-1 & 0\end{pmatrix} r = \begin{pmatrix}0 & 1\\\\-1 & 0\end{pmatrix} \begin{bmatrix}2\\\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\\\\-2\end{bmatrix}

对应的图像是

矩阵乘矩阵

举个例子

\begin{pmatrix}0 & 1\\\\-1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0\\\\0 & 1\end{pmatrix} \begin{bmatrix}2\\\\3\end{bmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\-2 & 0\end{pmatrix} \begin{bmatrix}2\\\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\\\\-4\end{bmatrix}

$\begin{pmatrix} 2 & 0\\\\0 & 1\end{pmatrix}$ 会使向量 $x$ 轴拉伸一倍， $\begin{pmatrix}0 & 1\\\\-1 & 0\end{pmatrix}$ 会使向量顺时针旋转转 $90^\circ$ ， $\begin{pmatrix}0 & 1\\\\-1 & 0\end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} 2 & 0\\\\0 & 1\end{pmatrix}$ 相乘的结果 $\begin{pmatrix} 0 & 1\\\\-2 & 0\end{pmatrix}$ 对向量的改变，等价于向量 $x$ 轴先拉伸一倍，然后再顺时针旋转 $90^\circ$ 。如图

Mathematics for Machine Learning学习笔记：矩阵乘法

矩阵乘向量

矩阵乘矩阵