矩阵进阶 - 范数
作为快餐教程，我们尽可能多上代码，多介绍工具，少讲原理和公式。但是我也深知这样是无法讲清楚的，毕竟问题的复杂度摆在这里呢。与大家一起在Tensorflow探索一圈之后，我一定要写一个数学基础比较扎实的进一步教程。
范数（norm）初识
一般大学本科的《线性代数》教材中是不讲范数、广义逆这些知识的，需要学习《矩阵论》课程。但是很不幸，深度学习中会频繁用到。所以我们还是要有个基础的概念的。
不管是一个向量，还是一个矩阵，我们在机器学习中都经常需要有一个对于它们大小的度量。
对于向量的度量，我们的第一印象就用向量的长度就是了么。换成更有文化一点的名词就是欧基里得距离。这么高大上的距离，其实就是所有的值的平方的和的平方根。
我们可以用ord='euclidean'的参数来调用tf.norm来求欧基里得范数。
例：
>>> a02 = tf.constant([1,2,3,4],dtype=tf.float32)
>>> sess.run(tf.norm(a02, ord='euclidean'))
5.477226这没啥神秘的，我们用sqrt也照样算：
>>> np.sqrt(1*1+2*2+3*3+4*4)
5.477225575051661下面我们将向量的范数推广到矩阵。其实还是换汤不换药，还是求平方和的平方根。
>>> a03 = tf.constant([[1,2],[3,4]],dtype=tf.float32)
>>> a03
<tf.Tensor 'Const_34:0' shape=(2, 2) dtype=float32>
>>> sess.run(a03)
array([[1., 2.],
[3., 4.]], dtype=float32)原来一排的向量，现在换成2x2的矩阵，我们继续求范数。现在有个高大上的名字叫做Frobenius范数。
>>> sess.run(tf.norm(a03,ord=2))
5.477226嗯，一算下来还是跟[1,2,3,4]向量的范数值是一样的。
范数的定义
欧几里得范数和Frobenius范数只是范数的特例。更一般地，范数的定义如下：
‖
x
‖
p
=
(
∑
i
|
x
i
|
p
)
1
p
" role="presentation">
其中，
p
∈
R
,
p
≥
1" role="presentation">
范数本质上是将向量映射到非负值的函数。当p=2时，
L
2
" role="presentation">范数称为欧几里得范数。因为在机器学习中用得太多了，一般就将
‖
x
‖
2
" role="presentation">
简写成
‖
x
‖" role="presentation">
。
更严格地说，范数是满足下列性质的任意函数：
-
f
(
x
)
=
0
⇒
x
=
0" role="presentation">
-
f
(
x
+
y
)
≤
f
(
x
)
+
f
(
y
)" role="presentation">
(这条被称为三角不等式, triangle inequality)
-
∀
α
∈
R
,
f
(
α
x
)
=
|
α
|
f
(
x
)" role="presentation">
范数的推广
除了
L
2
" role="presentation">范数之外，在机器学习中还常用
L
1
" role="presentation">
范数，就是所有元素的绝对值的和。
有时候，我们只想计算向量或者矩阵中有多少个元素，这个元素个数也被称为
L
0
" role="presentation">范数。但是，这种叫法是不科学的，因为不符合上面三条定义中的第三条。一般建议还是使用
L
1
" role="presentation">
范数。
我们来看下
L
1
" role="presentation">范数的例子：
>>> sess.run(tf.norm(a03,ord=1))
10.0另外，还有一个范数是
L
∞
" role="presentation">范数，也称为最大范数（max norm). 最大范数表示向量中具有最大幅值的元素的绝对值。
我们可以用ord=np.inf的参数来求最大范数。
>>> sess.run(tf.norm(a03,ord=np.inf))
4.0范数与赋范空间
最后，我们还是看一下数学上对于范数的严格定义。经过上面对于概念和代码实现的了解，现在这个定义已经不难理解了。
定义1 向量范数：设V是数域F上的线性空间，且对于V的任一个向量x，对应一个非负实数
‖
x
‖" role="presentation">，满足以下条件：
- 正定性：
‖
x
‖
≥
0" role="presentation">
, ‖ x ‖ = 0" role="presentation">
当且仅当x=0
- 齐次性：
‖
α
x
‖
=
|
α
|
‖
x
‖
,
a
∈
F
" role="presentation">
- 三角不等式：对任意
x
,
y
∈
V" role="presentation">
，都有 ‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖" role="presentation">
，则称 ‖ x ‖" role="presentation">
为向量x的范数， [ V ; ‖ ⋅ ‖ ]" role="presentation">
为赋范空间。
定义2 矩阵范数：设
A
∈
C
m
×
n
" role="presentation">，对每一个A，如果对应着一个实函数N(A)，记为
‖
A
‖" role="presentation">
，它满足以下条件：
- 非负性：
‖
A
‖
≥
0
" role="presentation">
, 正定性： A = O m × n ⇔ ‖ A ‖ = 0" role="presentation">
- 齐次性：
‖
α
A
‖
=
|
α
|
‖
A
‖
,
α
∈
C" role="presentation">
- 三角不等式:
‖
A
+
B
‖
≤
‖
A
‖
‖
B
‖
,
∀
B
∈
C
m
×
n
" role="presentation">
,则称N(A)= ‖ A ‖" role="presentation">
为A的广义矩阵范数。进一步，若对 C m × n , C n × l , C m × l " role="presentation">
上的同类广义矩阵范数 ‖ ⋅ ‖" role="presentation">
，有下面的结论：
- （矩阵乘法的）相容性：
‖
A
B
‖
≤
‖
A
‖
‖
B
‖
,
B
∈
C
n
×
l
" role="presentation">
,则称 N ( A ) = ‖ A ‖" role="presentation">
为A的矩阵范数。
