变分法理解3——例题求解在第2篇文章中，推导出了欧拉-拉格朗日方程，本文用它来解决第1篇文章中的两个简单的泛函问题。问

本文是变分法理解系列的第3篇文章

第1篇文章见变分法理解1——泛函简介
第2篇文章见变分法理解2——基本方法

在第2篇文章中，推导出了欧拉-拉格朗日方程，本文用它来解决第1篇文章中的两个简单的泛函问题。

两点之间的最短路径

问题的具体描述见第1篇文章，在第1篇文章中求的是从坐标原点(0,0)到点(a,b)的连接曲线是 y = y(x)，不失一般性，这里将其改成求点 (x_0,y_0) 到点 (x_1,y_1) 的最短连线。

两点之间最短路径问题就是如何找出曲线y(x)，使得曲线的总弧长，也就是泛函：

$J[y(x)] = \int_{x_0}^{x_1} (1 + y'^2 )^{1/2}dx$

最小。

因为 $F = (1+y'^2)^{1/2}$ ,

所以

$\frac{\partial F}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial F}{\partial y'} = \frac{y'}{(1+y'^2)^{1/2}}$

代入欧拉-拉格朗日方程为：

$\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'}=0$

因此：

$\frac{\partial F}{\partial y'}= C = \frac{y'}{(1+y'^2)^{1/2}}$

其中C是常数，因此：

$y'=\frac{C}{(1-C^2)^{1/2}}$

可见曲线y(x)的斜率 y' 是一个常数，设 y(x)=ax+b ，由已知条件 y ( x_0 ) = y_0 , y (x_1) = y_1 ，可得两点间最短连线是：

$y(x)= \frac{y_1 - y_0}{ x_1 - x_0 } (x-x_0) + y_0$

最速降线问题

问题的具体描述见第1篇文章，重物由 O 点运动到 A 点所需时间 t 是泛函：

$t=J[y(x)]=\int_0^a \sqrt{\frac{(1 + y'^2)}{2gy}}dx$

并且满足条件：

y ( 0 ) = 0 , y ( a ) = b

最速降线的问题就是在所有连续函数 y(x) 中，求出一个函数 y 使时间 t 取最小值。

首先证明一个定理：

若F只依赖于 y 和 y'，F(y,y') 具有二阶偏导数，y(x)也具有二阶偏导数，那么：

$F(y,y') - y' \frac{\partial F}{\partial y'} = C$

证明：

$\begin{aligned}\frac{d}{dx}[F(y,y') - y' \frac{\partial F}{\partial y'}] &= \frac{\partial F}{\partial y} y' + \frac{\partial F}{\partial y'}y''- y''\frac{\partial F}{\partial y'}-y'\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y'}) \ &= y' \frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y'})-y'\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y'}) \ &= 0 \end{aligned}$