分部积分法（integration by parts）

清雅白露记

2018-08-08 1,915 阅读1分钟

分部积分法是微积分中重要的计算积分的方法。它的主要原理是把一个积分转变成另一个较为容易的积分。

不定积分的分部积分法推导

设函数 $u=u(x)$ 和 $v=v(x)$ 具有连续导数，它们乘积的导数公式为：

(uv)'=u'v+uv'

移项可得：

u'v=(uv)'-uv'

对上式两边求不定积分：

\int uv' \mathrm dx = uv - \int u'v \mathrm dx \quad\quad\quad(1)

这就是不定积分的分部积分公式，当求 $\displaystyle \int uv' \mathrm dx$ 有困难的时候，而求 $\displaystyle \int u'v \mathrm dx$ 比较容易，就可以利用公式（1）。

公式（1）也可以写成：

\int u \mathrm dv = uv - \int v \mathrm du \quad\quad\quad(2)

定积分的分部积分法推导

由公式(1)和 Newton-Leibniz 公式：

\begin{aligned}\int_a^b u(x)v'(x) \mathrm dx &= [\int u(x)v'(x) \mathrm dx]_a^b
\\ &= [u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) \mathrm dx]_a^b \\ &= [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) \mathrm dx \end{aligned}

简写为：

\int_a^b uv' \mathrm dx = [uv]_a^b - \int_a^b u'v \mathrm dx

或：

\int_a^b u \mathrm dv = [uv]_a^b - \int_a^b v \mathrm du

这就是定积分的分部积分公式。

例子

例1

\begin{aligned}\int x e^x \mathrm dx &= \int x \mathrm d e^x
\\ &= x e^x -\int e^x \mathrm dx
\\ &= x e^x - e^x + C
\end{aligned}

C是常数

例2

\begin{aligned}\int e^x \sin x \mathrm dx &= \int \sin x \mathrm d e^x
\\ &= e^x \sin x-\int e^x \mathrm d \sin x
\\ &= e^x \sin x-\int e^x \cos x \mathrm dx
\end{aligned} \quad\quad\quad(3)

再次利用分部积分法：

\begin{aligned}\int e^x \sin x \mathrm dx &= \int e^x \mathrm d (-\cos x)
\\ &= -e^x \cos x+\int \cos x \mathrm d e^x
\\ &= -e^x \cos x+\int e^x \cos x \mathrm dx
\end{aligned}\quad\quad\quad(4)

合并式（2）和（3）：

\int e^x \sin x \mathrm dx = \frac 1 2 e^x (\sin x - \cos x)+C

心得

分部积分法只是把一个积分转变成另一个较为容易的积分，但是不一定能立即算出结果，因此在计算过程中，只要思路正确，具体计算时有决心和耐心，坚持下去就能成功！