随笔档案

文章分类

阅读排行榜

评论排行榜

似然函数（Likelihood function、Likelihood）

　　在数理统计学中，似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数，表示模型参数中的似然性。似然函数在统计推断中有重大作用，如在最大似然估计和费雪信息之中的应用等等。“似然性”与“或然性”或“ 概率”意思相近，都是指某种事件发生的可能性，但是在统计学中，“似然性”和“或然性”或“概率”又有明确的区分。概率用于在已知一些参数的情况下，预测接下来的观测所得到的结果，而似然性则是用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物的性质的参数进行估计。

　　在这种意义上，似然函数可以理解为条件概率的逆反。在已知某个参数B时，事件A会发生的概率写作：

$P(A\mid B)={\frac {P(A,B)}{P(B)}}\!$

　　利用贝叶斯定理，

$P(B\mid A)={\frac {P(A\mid B)\;P(B)}{P(A)}}\!$

　　因此，我们可以反过来构造表示似然性的方法：已知有事件A发生，运用似然函数 ${\mathbb {L}}(B\mid A)$ ，我们估计参数B的可能性。形式上，似然函数也是一种条件概率函数，但我们关注的变量改变了：

$b\mapsto P(A\mid B=b)\!$

　　注意到这里并不要求似然函数满足归一性： $\sum _{{b\in {\mathcal {B}}}}P(A\mid B=b)=1$ 。一个似然函数乘以一个正的常数之后仍然是似然函数。对所有 $\alpha >0$ ，都可以有似然函数：

$L(b\mid A)=\alpha \;P(A\mid B=b)\!$

最大似然估计（maximum likelihood estimation ，MLE）

　　给定一个概率分布，已知其概率密度函数（连续分布）或概率质量函数（离散分布）为 f_D ，以及一个分布参数 $\theta$ ，我们可以从这个分布中抽出一个具有个值的采样 $\mathbb{P}(x_1,x_2,\dots,x_n) = f_D(x_1,\dots,x_n \mid \theta)$

但是，我们可能不知道 $\theta$ 的值，尽管我们知道这些采样数据来自于分布。那么我们如何才能估计出 $\theta$ 呢？一个自然的想法是从这个分布中抽出一个具有个值的采样 X_1, X_2, ..., X_n ，然后用这些采样数据来估计 $\theta$ .

一旦我们获得 $X_1, X_2,\ldots, X_n$ ，我们就能求得一个关于 $\theta$ 的估计。最大似然估计会寻找关于 $\theta$ 的最可能的值（即，在所有可能的 $\theta$ 取值中，寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化）。这种方法正好同一些其他的估计方法不同，如 $\theta$ 的非偏估计，非偏估计未必会输出一个最可能的值，而是会输出一个既不高估也不低估的 $\theta$ 值。