密码学note一个离散的随机变量,比方说,由有限集合和定义在上的概率分布组成。我们用表示随机变量取时的概率。如果随机变量

定义2.1

一个离散的随机变量,比方说 $X$ ,由有限集合 $\mathfrak{X}$ 和定义在 $\mathfrak{X}$ 上的概率分布组成。我们用 $Pr[X=x]$ 表示随机变量 $X$ 取 $x$ 时的概率。如果随机变量是固定的,我们有时缩写成 $Pr[X]$ 。对任意的 $x\in \mathfrak{X}$ ，有 $0\leq Pr[x] \leq 1$ ，并且

定理2.1（Bayes定理）

由

得，如果 $Pr[y]>0$ ,那么

推论2.2

X和Y是统计独立的随机变量，当且仅当对所有的 $x\in X$ 和 $y\in Y$ ,有

证明： $Pr[x,y]=Pr[x|y]Pr[y]=Pr[x]Pr[y]$

定义2.3

一个密码体制具有完善保密性，即，如果对于任意的 $x\in \rho$ 和 $y\in \epsilon$ ,有 $Pr[x|y]=Pr[x]$ 。也就是说，给定密文y,明文x的后验概率等于明文x的先验概率。

定义2.4

假设随机变量X在有限集合上取值，则随机变量X的熵的定义为：

H(X)=-\sum_{x\in X}^{}{Pr[x] \log_2 Pr[x]}

如果|X|=n并且对于所有的 $x\in X$ ,Pr[x]=1/n,那么 $H(X)=\log_{2}{n}$ 。同样，容易知道对于任意的随机变量X, $H(X)\geq 0$ 。H(X)=0当且仅当对于某一个 $x_0\in X$ , $Pr[x_0]=1$ ,对于所有的 $x\neq x_0$ , $Pr[x]=0$ 。

定理2.4

假设密码体制 $(\rho ,\epsilon,\kappa,\xi,\mathfrak{D})$ 满足 $|\kappa|=|\epsilon|=|\rho|$ 。这个密码体制是完善保密的，当且仅当每个密钥被使用的概率都是 $1/|\kappa|$ ,并且对于任意的 $x\in \rho$ 和 $y\in\epsilon$ ,存在唯一的密钥 $k$ 使得 $e_k(x)=y$ 。