单个随机变量的函数的分布

上次看数字图像处理时，在关于图像直方图均衡处理 (page74) 时，有一个公式：

开始不知道如何推导出这个公式的，后面想到概率论与数理统计上好像讲到过这个推导过程，现找到 (page51) 记录如下：

设$f(x)$是严格单调函数，随机变量$X$的密度函数$p_X(x)$，试证明对于随机变量$Y=f(X)$，其密度函数

这里$x=f^{-1}(y)$为$y=f(x)$的反函数。

证明 若$f(x)$为严格单调增函数，则$f'(x)>0$. 因而其反函数$x=f^{-1}(y)$存在且亦为单调增函数，即$[f^{-1}(y)]'>0$，则

进而

若$f(x)$为严格单调减函数，则$f'(x)<0$，此时$[f^{-1}(y)]'<0$，则

从而

因而证得

因为$s=T(r)$，所以$r=T^{-1}(s)$，又$[T^{-1}(s)]'={1}/{T(r)'}=dr/ds$，所以$p_s(s)=p_r(T^{-1}(s))|dr/ds|=p_r(r)|dr/ds|$。