练习：找不动点
数x叫做一个函数的不动点，如果f(x) = x。
程序：
object exercise {
val tolerance = 0.0001 //> tolerance : Double = 1.0E-4
def abs(x: Double) = if (x >= 0) x else -x //> abs: (x: Double)Double
def isCloseEnough(x: Double, y: Double) =
abs((x - y) / x) / x //> isCloseEnough: (x: Double, y: Double)Boolean
def fixedPoint(f: Double => Double)(firstGuess: Double) = {
def iterate(guess: Double): Double = {
val next = f(guess)
if(isCloseEnough(guess, next)) next
else iterate(next)
}
iterate(firstGuess)
} //> fixedPoint: (f: Double => Double)(firstGuess: Double)Double
}
之前的sqrt函数可以改为求y = x / y的y值，即y => x / y的不动点。
def sqrt(x: Double) =
fixedPoint(y => x / y)(1.0)
如果按上面这样写就会陷入循环，比如sqrt(2)时每次的guess在1.0、2.0反复。一个解决的办法是平均原序列的后继值：
def sqrt(x: Double) =
fixedPoint(y => (y + x / y) / 2)(1.0)
其实这种求平均以稳定化的方法很普遍，可以被抽取成一个函数。
def averageDamp(f: Double => Double)(x: Double) = (x + f(x)) / 2
然后sqrt函数就可以这样写了：
def sqrt(x: Double) = fixedPoint(averageDamp(y => x / y))(1.0)
类
语法什么的不想写了……
类的求值方法和函数的一样，都是call-by-value。就是说new C(e1, …, em)会变成new C(v1, …, vm)。
现在假设有这样一个类定义：
class C(x1, …, xm) { … def f(y1, …, yn) = b …}
那么下面这个表达式怎么被求值？
new C(v1, …, vm).f(w1, …, wn)
答案是，它会被重写成：
[w1/y1, …, wn/yn] [v1/x1, …, vm/xm] [new C(v1, …, vm)/this] b
其中有三个替换过程：
- 函数
f的参数被求值 - 类
C的参数被求值 this引用被new C(v1, …, vn)替换
看例子：
new Rational(1, 2).number
-> [1/x, 2/y] [] [new Rational(1, 2)/this] x
= 1
new Rational(1, 2).less(new Rational(2, 3))
-> [1/x, 2/y] [new Rational(2, 3)/that] [new Rational(1, 2)/this] this.number * that.denom this.denom
= new Rational(1, 2).number * new Rational(2, 3).denom new Rational(2, 3).number * new Rational(1, 2).denom
-> 1 * 3 2 * 2
-> true
操作符
之前如果x、y是整数，可以写x + y，但如果是Rational，则要写成r.add(s)。在Scala中，可以消除这种差异。
中缀标记
只有一个参数的方法可以像中缀操作符那样用。
r add s == r.add(s)
r less s == r.less(s)
r max s == r.max(s)
宽松的标识符
操作符可以用作标识符。
标识符可以是：
- 字母组成：字母开头，后跟一系列字母或数字
- 符号组成：符号开头，后跟其他的符号
- 下划线
_算作字母 - 字母组成的标识符也能以下划线后跟一些符号结束
标识符例子：
x1 * +?%& vector_++ counter_=
然后就可以这样定义方法：
def + (r: Rational) = …
def - (r: Rational) = …
前置标识符也是可以的，方法要以unary_开头：
def unary_- : Rational = new Rational(-number, denom)
这样用：
x = new Rational(1, 2)
-x
如果方法名以符号结尾则要把之后的:用空格隔开，要不就会被误认为是方法名的一部分了。
优先级
操作符优先级由首字母决定。
优先级的升序排列：
- 所有字母
- |
- ^
- &
- = !
- :
-
-
-
- / %
- 所有其他运算符
练习：给出下面的表达式的顺序
a + b ^? c ?^ d less a ==> b | c
答案是：
((a + b) ^? (c ?^ d)) less ((a ==> b) | c)
绝不要写这样的代码……
