O(n) 线性求逆元

SMusk
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学一波操作

对于质数 p ,在线性时间内求出 [1,n] 的逆元

数学过程

显然对于 1 有

1^{-1} \equiv 1 \mod p

对于 i \in [2,p]

设 p=k*i+r , r<i（一）

则有

k*i+r \equiv 0\mod p

然后两边同时乘上 i^{-1}\cdot r^{-1} 得到

k\cdot r^{-1}+i^{-1}\equiv 0 \mod p
i^{-1}\equiv -k\cdot r^{-1} \mod p（二）

由于i<r(即（一)）

所以有

k=\lfloor\frac{p}{i}\rfloor
r=p\mod i

代入（二）

i^{-1}\equiv -\lfloor \frac{p}{i}\rfloor\cdot(p\mod i)^{-1} \mod p

代码过程

于是我们就有了代码

A[1]=1
A[i]= -p/i*A[p%i]

对于任意的 i ， p\mod i < i ，因此 A[p \mod i] 一定已知

则通过 A[1]=1，可推出所有 i\in [1,p-1] 的逆元

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