确实没什么好害怕的了

题解

二项式反演

这道题目的条件十分严苛，满足条件的数字组数必须为 $k$ 显然这很难推，因此我们需要放宽条件

预备动作

首先显然要排个序，设数组分别为 $A、B$ ，然后处理出对与每一个 $A[i]$ ,有多少个数字 $\in B$ 比它小

当然排序是要从小到大排序（后面解释为什么）

反演过程

要求：选择的第 $i$ 个数字 $A[i]$ 比 $B[i]$ 大

设 $f[i][j]$ 为在 $A[1-i]$ 中选 $j$ 个数可以得到至少（不是恰好） $j$ 组满足要求的数字

设 $F[i]$ 为选择出来的结果至少有 $i$ 组满足要求的数字

设 $G[i]$ 为选择出来的结果恰好有 $i$ 组满足要求的数字

显然 $G[k]$ 即为答案

① $f[i][j]$

对于 $f[i][j]$ 有

f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1]*(t[i]-(j-1))

因为对于 $A[i]$ 来讲，前 $[i-1]$ 个 $\in A$ 的数一定已经把 $t[i]$ 个数中的 $i-1$ 个数给选掉了，那么对于 $A[i]$ 可选的数有 $t[i]-(j-1)$ 个，同时可以继承前面的方案 $f[i-1][j]$

上面这个就是从小到大排序的原因，必须要保证 $t[i] \ge t[i-1]$

② $F[i]$

表示有那么 $i$ 个是正经的满足条件，剩下 $n-i$ 个随机排列即可

③ G[i]

显然有

意思就是从 $i$ 个数字当中随机调出 $k$ 个，满足 $F[k]$ 的条件，而挑选的方式在排序之后恰有 $C_i^k$ 种

反演一下（套个公式）

最后答案的 $i$ 应该满足 $i-(n-i)>=k$ ，即 $G[i]=G[\frac{n+i}{2}]$

解题步骤

$O(n)$ 求个 $i!$

$O(n^2)$ 求个 $f[n][i]$

$O(n^2)$ 求个 $F[i]$

$O(n)$ 求个 $G[k]$

结束

代码附上

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define getchar() *inp++
using namespace std;
const int mod=1e9+9;

char INP[1<<20],*inp=INP;

inline long long input()
{
	long long o;char c=getchar();
	while(c>57||c<48)c=getchar();
	for(o=0;c>47&&c<58;c=getchar())o=(o<<1)+(o<<3)+c-48;
	return o;
}

long long A[2345],B[2345],t[2345];
long long C[2345][2345],f[2345][2345],F[2345],fac[2345];

int main()
{
//	freopen("In.txt","r",stdin);
//	freopen("O.txt","w",stdout);
	fread(INP,1,1<<20,stdin);
	int n=input(),k=input();
	fac[0]=1;

	for(int i=1;i<=n;i++)A[i]=input();
	for(int i=1;i<=n;i++)B[i]=input();
	sort(A+1,A+n+1);sort(B+1,B+n+1);
	
	for(int i=1,j=1;i<=n;i++)
	{
		while(A[i]>B[j]&&j<=n)j++;
		t[i]=j-1;
	}

	for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	for(int i=0;i<=n;i++)f[i][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=i;j++)
		f[i][j]=(f[i-1][j]+f[i-1][j-1]*(t[i]-j+1))%mod;
	for(int i=1;i<=n;i++)F[i]=(f[n][i]*fac[n-i])%mod;
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		C[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;j++)C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
	}
	k=n+k>>1;
	long long ans=0;
	for(long long i=k,c=1;i<=n;i++,c*=-1)
		ans=(ans+C[i][k]*F[i]*c)%mod;
	printf("%lld",ans<0?ans+mod:ans);
}

BZOJ 3622 已经没有什么好害怕的了