Google 面试题 | 多余的连接a. 给定一个无向图，这个图是在一棵树的基础上加上一条边构成的。问哪条边可以删掉使图

专栏 | 九章算法

网址 | www.jiuzhang.com

1.题目描述

a. 给定一个无向图，这个图是在一棵树的基础上加上一条边构成的。问哪条边可以删掉使图重新变成一棵树？如果有多个答案那么输出输入的边中最后出现的那条。

b. 输入输出

Input: [[1,2], [1,3], [2,3]]

Output: [2,3]

Explanation: The given undirected graph will be like this:

/ \

2 - 3

Input: [[1,2], [2,3], [3,4], [1,4], [1,5]]

Output: [1,4]

Explanation: The given undirected graph will be like this:

5 - 1 - 2

  |   |

  4 - 3

c. 注意给的边有顺序，当两个点已经有共同的根结点时候，这条边应该被删除

d. 输入保证[u,v] u<v,要求输出也保证u<v

Ⅰ. 首先思考使用暴力方式解决问题，我们穷举那条需要删除的边，然后都过深度优先搜索（dfs）验证删完之后的图是否为一棵树，时间复杂度是O(n^2)，虽然已经不错了，但这不是面试官预期的时间复杂度

Ⅱ. 我们换个思路考虑，遍历所有边，一边遍历一边将当前边加入到图中。如果我们发现，有一条边[u,v]还未曾加入到图中时，u和v就已经通过其他若干边相连，那么这就是我们要找的“多余”的边。

Ⅲ. 如果我们还是用dfs去判断u和v的连通性，那么是O(n)的时间复杂度，总的时间复杂度仍是O(n^2)。这里我们就要用到一种数据结构叫做并查集，可以在常数时间内两个元素是否在同一集合（查询操作）和把两个元素合并到同一个集合（合并操作）。在并查集中，每个集合都有一个代表元素，我们称之为祖先。

Ⅳ. 并查集的初始化：在最初的时候，根节点都是自己，我们用一个数组parent[i]=i来表示这个关系。

Ⅴ. 并查集的查询操作：每次给边的时候判断两个点的祖先节点，我们不停地通过调用parent函数向上寻找直到parent[i]==i

Ⅵ. 给出一条边，两个节点设置为l ,r 如果祖先节点father_l, father_r 不相同，说明此时l和r不向连，这条边信息有用（不是一条多余的边），我们就通过并查集的合并操作将他们连在一起。具体操作需要将祖先节点接在一起，令parent[father_r]=father_l。

Ⅶ. 路径压缩优化：在做查询操作的时候我们将parent[now] = find_father(parent[now])，是为了压缩路径，因为一旦两棵树合并，其中一些节点不是直接指向根节点的，不合并每次搜索会浪费大量时间

Ⅷ. 我们认为总的时间复杂度是O(n)，其中使用了路径压缩的并查集的常数非常小可以忽略

Ⅸ. 虽然题目强调如果有多个答案输出最后一条，但用上述方法只会找到一条“多余”的边，所以代码中是从前往后遍历所有边

本题是一道中等偏简单难度的题目，难点在于用到了比较高级的数据结构：并查集，且需要把并查集应用在具体题目，来帮助我们快速的判断图中的连通性。

推荐阅读

欢迎关注我的微信公众号：九章算法（ninechapter）。

精英程序员交流社区，定期发布面试题、面试技巧、求职信息等