专栏 | 九章算法
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题目描述
房间里有n盏灯，初始时全是亮的，房间的墙上有4个按钮。问在按了恰好m次按钮后，n盏灯的状态共有多少种可能，返回这个值。
设n盏灯的标号[1,2,3,……,n]，4个按钮的功能如下：
i.反转所有灯的状态。
ii.反转所有偶数标号的灯的状态。
iii.反转所有奇数标号的灯的状态。
iv.反转所有形如(3*k+1)标号的灯的状态，k=0,1,2,……。
样例1
i.输入： n = 1, m = 1
ii.输出： 2
iii.说明： 1盏灯按1次按钮后可能的状态为【亮】、【灭】。
样例2
i.输入： n = 2, m = 1
ii.输出： 3
iii.说明： 2盏灯按1次按钮后可能的状态为【灭，灭】、【亮，灭】、【灭、亮】。
样例3
i.输入： n = 3, m= 1
ii.输出： 4
iii.说明： 3盏灯按1次按钮后可能的状态为【灭，灭，灭】、【亮，灭，亮】、【灭，亮，灭】、【灭，亮，亮】。
注意：n和m的范围都在[0,1000]中。
解题思路分析
显然，直接枚举每一次的按钮是4个中的哪个的时间复杂度是指数级别的，事实上，为了判断最后得到的状态是否重复，可能还要用hashtable判重。
我们从两个方向对问题进行化简：
Ⅰ. 一是灯泡的周期性，先假设灯有足够多，考虑如果只有按钮1，即反转所有灯泡的状态，那么尽管n个灯泡最多会有2^n种状态，但是在初始状态确定为全亮的情况下，不论按钮1按几下，至多只有两种可能：全亮或全灭。如果将按钮2和按钮3考虑进来，也可以发现，无论怎么按按钮，奇数标号的灯状态都一样，偶数标号的灯状态都一样，最后的灯的状态是以2为周期的。现在考虑所有的4个按钮，无论怎么按，最后灯泡的状态应该是以6为周期的。因此，即使灯泡再多，也只需考虑前6个灯泡，其状态不会超过2^6=64种。这样，判重就不需要hashtable了，只需一个长为64的布尔型数组就可以了。
Ⅱ. 二是按钮的冗余性，首先，按按钮的顺序是可以交换而不改变结果的（如果把灯泡状态看成是一个二进制数的话，按按钮相当于按位异或某个数，而异或是满足交换律的），其次，同一个按钮按多次其实只有奇偶之分，也就是只有按与不按之分（连续按两次相当于不按，连续按三次又相当于按1次）。另外，按钮1、按钮2、按钮3中的其中两个是可以替代另一个的（或称线性相关），也就是说按这三个按钮中的任意两个按钮一下，相当于按另一个按钮一下。因此，4个按钮中有效的只有3个，3个按钮各自按与不按有两种情况，最后可能的状态数不会超过2^3=8种，而且这八种按按钮的方案最后得到的灯的状态（在灯足够多的情况下）是各不相同的。当m>=3时，这8种可能都是可以实现的，这并不是因为2^m>=8，（事实上，如果只有按钮2、3、4，而且m=3的话，是没法做到最后灯全亮即所有状态不变的，只要m为奇数，就不可能实现，但有4个按钮的话就做的到，只需按下按钮1、2、3即可），而是因为按钮1、2、3之间的替代关系，才使得这能成立。（可以动笔试试m=3和m=4的情况下如何得到所有的八种情况，对于m>=5的情况，只要从m=3或m=4的情况下增加偶数次按同一个按钮即可得到）。
Ⅲ. 这样一来就可以得到相对合理的算法：如果m>=3，就枚举按钮2,3,4（前3个按钮可任取两个）按与不按得到八种情况，看这八种情况中不重复的有几种；如果m<3，可以直接枚举按每一次按的是4个中的哪一个，然后判重得到答案。由于涉及的数都比较小，虽然时间复杂度不是常数，但实际肯定不会有太大的耗时。
由于涉及到的数都比较小，那么我们就直接来看看各种情况下的答案吧。首先我们用一个6位的二进制数来表示灯的状态，0表示某一位的灯亮，1表示灯灭，由于灯的状态一定会以6为周期，所以只看6位，暂时先不考虑灯泡数量。初始状态为000000，按一次按钮1变为111111,；按一次按钮2变为010101,；按一次按钮3变为101010；按一次按钮4变为100100。
i. m>=3时，总共有8种可能，即000000、001110、010101、011011、100100、101010、110001、111111。如果n=1，可以只看第1位，有0和1两种可能；如果n=2，看前两位，有00、01、10、11四种可能；如果n>=3，所有8种可能都互不相同。
ii. m=1时，按一次开关有4种可能，且这4种可能各不相同：111111、010101、101010、100100。如果n=1，看第1位，有0和1两种可能；如果n=2，看前两位，最后两种是一样的，有11、01、10三种可能；如果n>=3，那么就有所有4种可能。
iii. m=2时。按两次开关有16种可能，但不同的只有7种：000000、001110、010101、011011、101010、110001、111111。如果n=1，看第一位，有0和1两种可能；如果n=2，看前两位，有00、01、10、11四种可能；如果n>=3，所有7种可能都互不相同。
参考程序
面试官角度分析
这题乍一看可能会感觉答案会很大，但实际分析后就可以发现状态数其实是很小的，关键在于如何剔除多余的状态。给出正确的算法即可hire。
lintcode相关问题
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