2017-09-22 九章算法
专栏：九章算法
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题目描述
给定n个数的数组，找到所有长度大于等于k的连续子数组中平均值最大的那个。返回那个最大的平均值。
1 <= k <= n <= 10000，数组中的元素在范围[-10000, 10000]之间，最后返回的答案的误差应在10^(-5)以内。
样例
输入： [1,12,-5,-6,50,3], k = 4
输出： 12.75
说明：
长度为4的子数组中，最大的平均值为12.75，（=(12 + -5 + -6 + 50)/4）
长度为5的子数组中，最大的平均值为10.8，（=(12 + -5 + -6 + 50 + 3)/5）
长度为6的子数组中，最大的平均值为9.16667。（所有数的平均值）
因此返回12.75。
解题思路分析
a. 可以枚举所有的长度大于等于k的子数组计算平均值，并对所有得到的平均值求最大值，这样可以做到时间复杂度O(n^2)，但是会超时。
或许有同学会想到是不是可以只看长度为k的子数组，因为如果没有长度限制，那么显然最大平均值子数组就是数组中最大的数（长度为1的子数组），而且刚好样例给出的数据是满足长度为k的所有子数组的最大平均值随着k增大而减小的。
很可惜这个想法是错误的，很容易举出反例，对于[1, -1, 1]， 长度1子数组的最大平均值为1，长度2的为0，长度3的为1/3，如果题目给出k=2，则应输出返回1/3而非0。
b. 有些最值问题可以转化为判断问题从而用二分法求得答案。
对于n个数a(0),a(1),……,a(n-1)，以及一个数A，如果存在一个子数组起始于i，长为L>=k，使得其平均值大于等于A，即(a(i)+a(i+1)+……+a(i+L-1))/L >= A，那么我们所求的答案应当大于等于A；反之如果对于所有长度大于等于k的子数组，其平均值均小于A，那么我们所求的答案也必然小于A。
i. 如何判断是否存在长度至少为k的子数组，其平均值大于等于A？
观察式子(a(i)+a(i+1)+……+a(i+L-1))/L >= A，其等价于(a(i)-A)+(a(i+1)-A)+……+(a(i+L-1)-A)>=0，令b(0)=a(0)-A , b(1)=a(1)-A , …… , b(n-1)=a(n-1)-A，那么判断a数组中是否存在长度至少为k的子数组平均值大于等于A，就变成了判断b数组中是否存在长度至少为k的子数组和大于等于0，只要求出b数组长度至少为k的子数组的最大和与0比较即可。
ii. 求长度大于等于k的最大和子数组比原问题容易的多，令s为b的前缀和子数组，即s(i)=b(0)+b(1)+……+b(i-1)，且s(0)=0，那么b(j)到b(i-1)的区间和可表示为s(i)-s(j)，找长度大于等于k的最大和子数组等价于找i,j，满足i-j>=k，且使s(i)-s(j)最大。
固定i，则要使s(i)-s(j)最大，s(j)应最小，同时也应满足j<=i-k，令p(i) = min{s(j)},j<=i-k，故 i 固定时s(i)-s(j)的最大值为s(i)-p(i)，枚举所有i即可得到最终的最大值。因为s(i),p(i)均可通过递推得到，故时间复杂度为O(n)。
iii. 这样一来，我们就可以二分答案，二分的初始区间可以设置为[min{a(i)},i=0~n-1 , max{a(i)},i=0~n-1]，因为一组数的平均值不会小于这组数的最小值，也不会大于这组数的最大值。
对于二分值A，通过前面讲的方法以O(n)的时间判断是否有子数组的平均值大于等于A，若有则答案大于等于A，若没有，则答案小于A。
二分至区间长度小于所需精度，即可返回该值。时间复杂度为O(n*log((MAX-MIN) / eps))，其中MIN、MAX分别为a数组的最小值和最大值，eps为要求的精度。
Follow up：本题亦有O(n)时间复杂度的算法（斜率优化/单调队列），但是比较难以理解，而且在面试中一般不会考，有兴趣的读者可以了解一下。
参考程序
Maximum Average Subarray ii 参考程序
面试官角度分析
这道题是一道medium偏难题，难点在于如何把关于最大平均值的判断问题转化成关于最大和的判断，从而用二分答案的方法解决，这实际上是所有二分答案方法的特点。
给出正确的解法可以 hire，如果思路清晰并做到 bug free可以 strong hire。
lintcode相关问题
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