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题目描述

一群朋友去度假，有时互相借钱。

例如，爱丽丝为比尔的午餐支付了 10 美元。后来克里斯给爱丽丝 5 美元搭出租车。我们可以假设每笔交易为一个三元组(X,Y,Z)，这意味着第 X 个人借给第 Y 个人 Z 美元。假设 Alice，Bill 和 Chris 是第0，1，2 个人（0，1，2是他们的ID），他们之间的交易可以表示为[ [ 0，1，10 ]，[ 2，0，5 ] ]。

给定一组人之间的交易清单，返回结算所需的最低交易数量。

样例 1

输入 [[0,1,10], [2,0,5]]

输出 2

样例解释
第 0 个人借给第 1 个人10美元
第 2 个人借给第 0 个人 5美元

需要2笔交易，其中一种方式是第1个人还给第0个人和第2个人各5美元。

样例 2

输入 [[0,1,10], [1,0,1], [1,2,5], [2,0,5]]

输出 1

样例解释
第0个人借给第1个人10美元
第1个人借给第0个人1美元
第1个人借给第2个人5美元
第2个人借给第0个人5美元

只需要1笔交易，第1个人还给第0个人4美元债务就还清了。

解题思路

（一）

读完题我们会发现每个人都有一个借钱的数量和一个还钱的数量(有可能是0)，如果这个人的这两个值的和为0，那么他就不需要还钱或者借钱给别人了。

证明：假设此人在借还之和为0的情况下收到 X 的钱，那么为了收支平衡，必定要把这些钱给另外一个人 Y，那么这样不会比X把钱直接给 Y 得到的答案更优。

比如，设三个人的收支情况为[-2,0,2]，那么第3个人把2转移到第2个人，再由第2个人转移到第1个人，需要2次交易，但是第3个人直接转移给第1个人那么只需要1次。

（二）

接下来我们只需要处理所有收支不为0的那些人。我们发现，(在数据合法的情况下)所有人的收支情况的和也是0，那么我们就来分析一下如何让答案最小。

对于预处理完收支情况的一个数组 2 , 3 , -2 , -3 ，显而易见答案是2 （2 → -2 , 3 → -3 ），但是还有一种不是最优的答案3（3 → -2 , 1 → -3 , 2 → -2）。那么我们就能发现，最优答案是2个子问题([2,-2],[3,-3])的最优解的和。

我们可以用集合枚举所有的子集，找到每个子集的最优解从而解得总问题的最优解。在这里我们可以把一个集合的子集定义为一个只有 0,1 的向量，

比如一个有3个元素的集合，他们的子集分别是000(空集),001,010,100,011,110,101,111(全集)，'1'代表这个子集里有这个元素，'0'代表这个子集里没有这个元素。

再利用一个1~n循环来判断这个子集里有哪些元素，如101代表这个子集里有第1个和第3个元素。

（三）

接下来我们分析这种解法的时间复杂度，假设去除所有收支平衡以后的人数为n，枚举子集的时间复杂度为O(2^n),对每个子集进行最优解分析也需要枚举它的所有子集(这些子集的最优解已经计算完成)，需要的时间复杂度也为O(2^n),最终的时间复杂度为O(4^n)。空间复杂度为O(2^n)。

参考代码

面试官角度分析

本题难度较大，可能会有多种解法，比如深度优先搜索(需要枚举所有可能的交易情况)等，效率较低。

假如运用这种预处理+动态规划或更高效的方法，那么有 strong hire 的水平，如果能用其他解法(如搜索)解出，则有 hire 的水平。

九章答案链接

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