题目描述
本题难度：Hard
做题日期：2017年3月26日
本题地址: leetcode.com/problems/wo…
Given a non-empty string s and a dictionary wordDict containing a list of non-empty words, add spaces in s to construct a sentence where each word is a valid dictionary word. You may assume the dictionary does not contain duplicate words.
Return all such possible sentences.
For example, given
s = "catsanddog",
dict = ["cat", "cats", "and", "sand", "dog"].
A solution is ["cats and dog", "cat sand dog"].分析和解答
这道题是本周关于回溯的 Hard 题。
暴力法
首先能想到的是暴力法，遍历所有的可能。
以题意中的例子做分析
s = "catsanddog",
dict = ["cat", "cats", "and", "sand", "dog"].
图一
我们从左到右遍历 catsanddog：
- 当前子串为 c，不符合要求
- 当前子串为 ca，不符合要求
- 当前子串为 cat，符合要求，接着求 sanddog 子串的结果， 如图二所示
- 当前子串是 cats, 符合要求...
图二
步骤 3 ，一直递归下去，我们可以得到结果 ["cat sand dog"]
代码如下:
图三的代码是暴力搜索所有的可能，会引起 超时异常(黑话是 TLE， 全称 Time Limit Exceeded)，如下图所示的case。
图四
经过观察，我们发现图四的test case有一个特点，就是有很多重复的字符: 有很多重复的子串，在暴力算法中有大量的重复计算。
所以，我们可以在图三的代码的基础上做优化：缓存结果。
DP = 记忆优化 + 剪枝
在图一和图二的分析中，我们可以知道，遍历所有的可能解的过程中 ，有许多重复的分支。
以 s = "aaaaaaaaaa", word_dic = ["aa", "aaa", "aaaa", "aaaaa"] 为例子
图五
如图五所示，在某一次递归求解的过程中，子串 "aa" 会被被重复的计算 5 次（如果是多次递归，计算的次数会更多）。我们可以将 "aa" 的结果缓存到一个 HashTable 中，这样就可以减少大量重复的计算。
Tips: 缓存一般都是用哈希，数组用的比较少，因为用数组会有空间浪费。
图六
Tips: 自顶向下的DP其实就是暴力搜索 + 缓存。
自底向上的思路
在上面的分析中，我们可以发现一个规律：在递归的过程中，我们其实是将字符串分成两个子串：
- 将10个a, 分成2个a 和 8 个a 的结果的组合: "aa" + "aaaaaaaa"
- 8 个 a 又可以分成 2 个 a 和 6 个 a的组合: "aa" + "aaaaaa"
- ... ...
所以，我们可以得到如下的思路：假设 字符串当前的位置是 n ，f(n) 表示所有的可能解, w(x) 表示 从位置 x 到 n 的子串：
f(n) = w(n) f(n-1) + w(n-1) f(n-2) + ... + w(0)
以 catsanddog 为例子，如下图所示
图七
代码实现如下
Tips 1: 自底向上的DP有一个小窍门：逆向思考。比如我们在分析该问题的时候，一般是考虑从起始点 0 到 结束点 i 的子串结果，这不利于推导DP公式。我们应该这样思考：以 i 为结尾的子串作为处理的单元。这么思考的好处，我们会自动的思考 i - 1 与 i 之间的关系，并且方便的推导他们之间的关系。
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