Given n pairs of parentheses, write a function to generate all combinations of well-formed parentheses.
For example, given n = 3, a solution set is:
[ "((()))", "(()())", "(())()", "()(())", "()()()" ]
背景
随着公司业务的增长，开发组的压力越来越大。王小二的工作也越来越多，老马决定给王小二找一个实习生(老马真是一个体贴的技术leader)。正好收到了一份应聘实习生的简历。这个候选人叫做 猪宝 ，是一个非常优秀的应届毕业生。他是留学归来的旅日硕士，日本东京帝国大学的计算机系高材生 。老马决定出一道考察计算机基本功底的算法题来面试这位候选人。
正文
王小二对出笔试题还是很好奇的，因为他一直是被“鄙视(笔试)”的对象，从来没有出过题目。他在来公司之前还面过其他几家公司的职位，可以说一位身经百战的“面试者”了。在过往的面试中，经常会遇到一些算法题。这让他很郁闷，一直觉得出这些算法题是刁难人啊，因为实际工作中根本用不到。所以，他对老马这次出题很感兴趣，非常想了解出笔试题的原则有哪些。
“老马，你打算出道什么样的题目啊？”
老马回答道“出一道字符串的题目吧。因为我们的大部分工作还是跟字符串打交道的。我想考察一下候选人的编程基本功底和对字符串的处理能力。”
“编程的基本功底具体是指什么？”王小二比较好奇。
“递归。”
“递归？”王小二满脸的疑惑。
“对”，老马肯定的说：“递归是很多算法的基础，比如深度优先搜索，二分法、分治算法等。”
“你知道递归有什么特点吗？”老马喜欢用提问的方式引导对方思考。
“不清楚…” 王小二有点不好意思的说道。
毕竟，承认自己的无知也是需要勇气的。老马看着王小二露出了不好意思的神态，微微一笑道:"因为递归能缩小问题集，可以将一个复杂的问题缩小到非常的简单的问题，可以使在子问题解决的基础上自行解决其他的部分。 "
"用递归往往可以写出非常简短的代码。"
“那你具体打算考什么题目呢？” 王小二有点迫不及待的想知道了。
“考这道题吧”, 老马递过来手中一张打印了题目的A4纸给王小二说：“你先试着想想思路，面试的时候，别被猪宝同学给问懵了”。老马对这次面试还是很重视的。毕竟，这是公司第一次引入有留学经历和工作经验的高素质人才。
王小二麻利的接过老马递过来的笔试题，仔细的阅读起来：“给定一个数n ，求符合要求的字符串的组合，字符只能是( 和 )”。
“这题目好难啊”，王小二心想“幸亏我当时笔试的时候不是这道题”。王小二假装思考了一会，叹了一口气跟老马说：“老马，这道题好难啊，给点提示吧。”
“哈哈，你可以试一试暴力搜索啊！”老马拍拍这个小年轻的肩膀说“更具体的说，就是深度优先搜索”。
“啊？深度优先搜索 ？” 王小二直接懵了。他可不傻，这道题根本没有图， 怎么可能用深度优先搜索。
“你学过数据结构吗”，老马没有正面回应王小二的疑问，而是问了一个奇怪的问题。
“学过啊，期末考试还考了优呢”，这算是王小二在大学期间为数不多值得骄傲的事情吧。
“你认为数据结构是什么？”
“数据结构是计算机存储和组织数据的方式”，王小二像一个小学生回答老师上课的提问一样的答道。
“嗯，这是课本上标准的答案”老马点点头道：“但数据结构最重要的特点是抽象！在使用数据结构的时候，一定不要把它套在具体的事情上面。抽象也说明了一个很重要的特点：数据结构存储的数据跟实际存储也是可以不相关的。”
老马看着王小二仍然是一脸疑惑的样子，知道要让一个新手这么快掌握抽象的概念是不可能的。所以，他打算一步一步的分析这道题来引导王小二思考。
“这道笔试题其实是可以抽象成一个树的模型”
“树由四个组成部分：1，根节点，树的起始位置；2， 叶节点，树的末尾节点；3，中间状态，4，状态转移方法，也就是操作”。
“只有定义清楚了这些概念，才能构造一棵完整的树。”
老马清了清嗓子，接着说：“结合我出的这道题，我们可以给出节点的数学形式 (x,y)。其中 x 表示的是 左括号的数量，y 表示的右括号的数量。”。
“如果根节点是 (0, 0) , 叶节点是 (n, n)，操作是什么？”老马还是没有忍住提了一个问题。
“是 x +1 或者 y + 1”，王小二飞快的答道。这次小二终于没有回答不知道了。
“对！也就是每次增加一次左括号或者右括号。”老马给了王小二一个肯定的眼神：“现在你能构造出这个树了吗？”。
“可以了！”王小二高兴的说道。
“抽象化的能力实在太重要了。很多问题，经过抽象后是可以转换成我熟悉的数据结构的 。”王小二想道。他终于开始重视起对抽象能力的培养了。
“对。这道题还没有结束呢。我们已经构造出了树，接下来就是遍历树的所有节点了”老马说道：“你还记得树有哪几种遍历算法吗？”
“两个！ dfs 和 bfs” 王小二的基础功底还是很不错的，不然也不可能加入公司的。
“嗯，这颗树用 dfs 比较合适” 老马接着说：“遍历树的时候，你觉得应该注意什么？”
“应该注意剪枝吧，放弃不符合要求的支路。这样可以提高效率” 王小二回答道。
“嗯。dfs本质上是一种暴力搜索方法，如果不加条件的话，就会搜索所有的情况。所以一定要加上限制条件的。” 老马笑着说：“那么问题来了，这颗树的剪枝条件是什么呢？”
“我觉得应该是符合要求的字符串的定义吧：左边括号的数量一定大于或者等于右括号的数量” 王小二简直就是比尔盖茨附体了，居然可以一口气回答出了老马的提问。
老马点点头，觉得王小二应该已经掌握了 dfs 的解法，他打算继续引导王小二思考其他方案：“你觉得本题还有其他解法吗？”
王小二摇摇头。
“还可以用栈啊，栈可以模拟递归。当然除了栈，还有递归本身的思路也值得分析的。”
“你有本题的递归思路吗？” 老马又开始提问了。
“根据前面你对递归的解释，我觉得有一个不成熟的想法：求子集 n - 1 的结果，然后寻找 n 与 n - 1 结果之间的关系。不过具体分析我不清楚。”
“挺好的，你能想到这点，说明你已经开始真正开始理解递归了。” 老马欣慰的道：“ 递归的关键是我们需要求出 n 与 n - 1 的关系。发现关系的技巧：从最简单的情况分析起，从其中发现规律。”
“当 n = 1 的时候，只有一个值()”。
“当 n = 2 的时候，有两个值 (()),()()”。
“经过分析，我们可以发现(()) 其实是有 ( + () + ) ； ()() 是 () + ()。”
“分别在()字符串的 index = 0, 1 的地方插入一对括号。” 老马加重语气道。
“好绕啊，能更简单的举个例子吗？” 王小二有点晕乎了。
“好的”， 老马真的很有耐心，因为他坚信只有教会了别人，才说明自己真正的懂了：“ 用A表示左括号’('， 用B表示右括号’)’。那么 n = 1 的结果就是 AB, n = 2的结果是 A()B, AB()。”
老马见王小二没有继续提问了，接着说道：“我们来写写伪代码吧”。
老马从口袋里掏出自己的英雄牌钢笔，在王小二的工位上随手拿了一张A4纸，开始写起了伪代码。
generateParenthesis(n)
strs = generateParenthesis(n-1) 取得 n - 1 的所有结果
i = 0 <- n , 遍历strs
str <- strs[i]
将 () 插入到 str 的第j 个位置 j = 0 <- str.length
“老马，我觉得有可能重复啊。” 没等老马写完，小二迫不及待的说。
老马停下来，示意王小二继续。王小二能发现这段伪代码的问题，他也是很欣慰的。
“比如 n = 1 的结果 ()，如果按照你的伪代码，()一次插在0的位置，一次插在最后的位置， 会出现两次 ()(), ()()。”
“对，你看的很仔细。那么你有办法解决这个问题吗？” 老马点点头道。
“我觉得可以用 Set 或者 Hash 来处理，因为Set 和 Hash 可以去重” 王小二回答道。
“那你来接着写吧”，老马把笔递给王小二，起身站了起来。毕竟，机会还是要留给年轻人的。
王小二也是急不可耐了，二话没说接过笔就开始写起来了。
generateParenthesis(n)
set = a new set
strs = generateParenthesis(n-1) 取得 n - 1 的所有结果
i = 0 <- n , 遍历strs
str <- strs[i]
将 () 插入到 str 的第j 个位置 j = 0 <- str.length
if set 中不存在该组合 then 将结果加入 set 中
return set中的所有的value
... ...
总结
下班回家的路上，王小二心里感觉很充实。他总结了一下今天跟老马说的重点：
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暴力搜索的分析开始于构建一颗树
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构件树的关键点是找到：根节点，叶节点和操作
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递归是dfs的基础，但是递归跟dfs是有区别的
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递归不需要构造树，但是需要找出出 n 与 n - 1的关系
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递归的特点在于：缩小问题规模 和 解决子问题后，其余问题能自动解决
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能用递归解决的问题，一定个可以用dfs 也可以用 栈，或许可以用DP
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