数组和矩阵 3 - 特殊矩阵

继续是《数据结构算法与应用：C++语言描述》，第四章数组和矩阵的笔记。本小节介绍几种特殊矩阵的内容。

定义和应用

方阵是指具有相同行数和列数的矩阵。

一些常用的特殊方阵如下：

• 对角矩阵 $M$是一个对角矩阵，当前仅当$i \neq j$时，有$M(i,j)=0$。如下图a所示
• 三对角矩阵 $M$是一个三对角矩阵，当前仅当$|i-j| \gt 1$时有$M(i,j)=0$。如下图b所示
• 下三角矩阵 $M$是一个下三角矩阵，当前仅当$i\lt j$时有$M(i,j)=0$。如下图c所示
• 上三角矩阵 $M$是一个上三角矩阵，当前仅当$i\gt j$时有$M(i,j)=0$。如下图d所示
• 对称矩阵 $M$是一个对称矩阵，当前仅当对于所有的$i 和 j$有$M(i,j)=M(j,i)$。如下图e所示

对角矩阵

可以采用T d[n][n]这样的二维数组来描述一个元素类型为T的$n \times n$对角矩阵D。 使用数组元素d[i-1][j-1]来表示矩阵元素D(i,j)，这种描述形式所需要的存储空间为$n^2 * sizeof(T)$。

由于一个对角矩阵最大包含n个非0元素，所以可以采用T d[n]一维数组来描述对角矩阵。其中使用d[i-1]表示矩阵元素D(i,i)，而根据对角矩阵的定义，所有未在一维数组中出现的矩阵元素均为0.

这里使用如下自定义类DiagonalMatrix来实现这种描述。

#ifndef DIAGONALMATRIX_H_
#define DIAGONALMATRIX_H_

template
class DiagonalMatrix{
private:
    // 矩阵维数
    int n;
    // 存储对角元素的一维数组
    T *d;       
public:
    DiagonalMatrix(int size = 10): n(size){
        d = new T[n];
    }
    ~DiagonalMatrix(){ delete[] d; }
    DiagonalMatrix& Store(const T& x, int i, int j);
    T Retrieve(int i, int j)const;
};

template
DiagonalMatrix& DiagonalMatrix::Store(const T&x, int i, int j){
    // 将x存为D(i,j)
    if (i<1 ||="" j<1="" i="">n || j>n)
        throw OutOfBounds();
    if (i != j && x != 0)
        // 必须满足对角矩阵的条件：i != j 时，x必须为0
        throw MustBeZero();
    if (i == j)
        d[i - 1] = x;
    return *this;
}

template
T DiagonalMatrix::Retrieve(int i, int j)const{
    if (i<1 ||="" j<1="" i="">n || j>n)
        throw OutOfBounds();
    if (i == j)
        return d[i - 1];
    return 0;
}
#endif

对于存储和搜索操作，提供了两个不同的函数，而不是使用重载操作符()来完成。此外在存储一个值时，必须保证不会在非对角线位置放置一个非0值；而搜索一个值时，没有必要检查对角线以外的值，因此有必要对这两种情形区别对待。两个函数的复杂性均为$\theta(1)$。

三对角矩阵

在一个$n \times n$三对角矩阵T中，非0元素排列在如下的三条对角线上：

1. 主对角线——i=j
2. 主对角线之下的对角线(称低对角线)——i=j+1
3. 主对角线之上的对角线(称高对角线)——i=j-1

这三条对角线上的元素总数为3n-2，故可以使用一个拥有3n-2个位置的一维数组来描述T。考察上述图b中所示的$4\times 4$三对角矩阵，三条对角线上总共10个元素。如果将其逐行映射到一维数组t中，则有t[0:9]=[2,1,3,1,3,5,2,7,9,0];如果逐列映射到t中，则有t=[2,3,1,1,5,3,2,9,7,0];如果按照对角线的次序，从最下面的对角线开始进行映射，则有t=[3,5,9,2,1,2,0,1,3,7]。所以这里有三种不同的方式来进行T到t的映射。下面的程序定义了类TridiagonalMatrix,其中采用了对角线映射方式。

template
class TridiagonalMatrix{
private:
    int n;
    T *t;
public:
    TridiagonalMatrix(int size = 10) : n(size){
        t = new T[3 * n - 2];
    }
    ~TridiagonalMatrix(){delete[] t;}
    TridiagonalMatrix& Store(const T& x, int i, int j);
    T Retrieve(int i, int j)const;
};

template
TridiagonalMatrix& TridiagonalMatrix::Store(const T& x, int i, int j){
    // 把x存为T(i,j)
    if (i<1 ||="" j<1="" i="">n || j>n)
        throw OutOfBounds();
    switch (i-j){
        case 1:
            // 低对角线
            t[i - 2] = x;
            break;
        case 0:
            // 主对角线
            t[n - 2 + i] = x;
            break;
        case -1:
            // 高对角线
            t[2 * n - 2 + i] = x;
            break;
        default:
            if (x != 0)
                throw MustBeZero();
    }
    return *this;
}

template
T TridiagonalMatrix::Retrieve(int i, int j)const{
    if (i<1 ||="" j<1="" i="">n || j>n)
        throw OutOfBounds();
    switch (i - j){
    case 1:
        // 低对角线
        return t[i - 2];
    case 0:
        // 主对角线
        return t[n - 2 + i];
    case -1:
        // 高对角线
        return t[2 * n - 2 + i];
    default:
        return 0;
    }
}

这里首先是从最下面的对角线开始，也就是低对角线，那么T(i,j)对应的一维数组是t[i-2]，接着轮到主对角线的时候，只需要用i加上低对角线的元素总数，即n-2个，也就是对应数组t[n-2+i]，因为i是依次从1，按行逐渐增加；最后对于高对角线，也是同样的计算方法。

三角矩阵

在三角矩阵中，无论是上三角还是下三角矩阵，非0元素总数均为$\frac{n(n+1)}{2}$。

两种三角矩阵都可以用一个大小为$\frac{n(n+1)}{2}$的一维数组进行描述。考虑把一个下三角矩阵映射到一个一维数组$l$，可以采用按行和按列两种不同的方式进行映射。如果按行映射，上图c中$4\times 4$下三角矩阵可以得到$l[0:9] = (2,5,1,0,3,1,4,2,7,0)$;若按列的方式，得到$l[0:9] =(2,5,0,4,1,3,2,1,7,0)$。

所以对于下三角矩阵中的一个元素$L(i,j)$，如果$i\lt j$,则$L(i,j)=0$;如果$i\le j$，则$L(i,j)$位于非0元素区域，且其对应的一维数组是t[$\frac{i(i-1)}{2}+j-1$]，其映射规则是先统计前i-1行的非0元素数量然后加上当前元素所在第i行的所在列数j-1。下面给出自定义类LowerMatrix实现下三角矩阵,并且是按行来映射。

template
class LowerMatrix{
private:
    // 矩阵维数
    int n;
    // 存储对角元素的一维数组
    T *t;
public:
    LowerMatrix(int size = 10) : n(size){
        t = new T[n*(n+1)/2];
    }
    ~LowerMatrix(){ delete[] t; }
    LowerMatrix& Store(const T& x, int i, int j);
    T Retrieve(int i, int j)const;
};

template
LowerMatrix& LowerMatrix::Store(const T&x, int i, int j){
    // 将x存为D(i,j)
    if (i<1 ||="" j<1="" i="">n || j>n)
        throw OutOfBounds();
    // 当前仅当 i >= j时，(i,j)位于下三角
    if (i >= j)
        t[i*(i - 1) / 2 + j - 1] = x;
    else if (x != 0)
        throw MustBeZero();
    return *this;
}

template
T LowerMatrix::Retrieve(int i, int j)const{
    if (i<1 ||="" j<1="" i="">n || j>n)
        throw OutOfBounds();
    if (i >= j)
        return t[i*(i - 1) / 2 + j - 1];
    else
        return 0;
}

上三角矩阵的实现方式也是相同的，只需要改变判断条件，将$i \ge j$变成$i \le j$即可。

对称矩阵

一个$n\times n$的对称矩阵可以用一个大小为$\frac{n(n+1)}{2}$的一维数组来描述，可参考三角矩阵的存储模式来存储矩阵的上三角或下三角，即可以根据已经存储的元素来推算出未存储的元素。即如果存储下三角的元素，当需要给出在上三角的元素，只需要将行和列对调，再来搜索即可得到需要的元素值，这样做可以更节省空间。

小结

本小节主要是介绍几种特殊矩阵，都是属于方阵，分别是三角矩阵，三对角矩阵，上三角和下三角矩阵以及对称矩阵，并且都自定义类来实现这几种特殊的矩阵。

更完整的例子可以查看我的Github