前言
此系列是本人对于学习计算机图形学过程中的记录及总结，所看教材是《Fundamentals of Computer Graphics (FOURTH EDITION)》。本文的图片也主要来源此书。以博客作为学习记录，理解之中若有不足还请大佬们指教。
本系列中我跳过了第五章线性代数知识，本篇主要记录第六章Transformation Matrices的学习。
在3D场景中，线性代数有许多的应用。在几何变换中，比如位移、旋转、缩放等等均可以通过矩阵相乘完成。本章节主要讲述线性代数矩阵在几何变换中的作用。
线性代数应用于变换，其本质是矩阵相乘改变基向量。之前学习了3blue1brown的线性代数本质，对线性代数有了更深刻的理解，非常推荐此资源。
6.1 二维线性变换（2D Linear Transformations）
我们可以使用2 * 2矩阵对二维向量进行线性变换（linear transformation），其基本模板如下：
二维场景中笛卡尔积坐标系的基向量为(1, 0)（X轴单位向量），(0, 1)（y轴单位向量）。
下文描述各种变换如何通过矩阵相乘进行实现。
6.1.1缩放（Scaling）
通过矩阵相乘，改变基向量的大小可以实现缩放操作，比如基向量均为原来的两倍，新图像的长宽会各自为原先两倍，面积则扩大四倍。表达式如下：
举例：
同时，我们可以发现缩放矩阵为对角矩阵
6.1.2错切（Shearing）
错切是一种推移效果，有水平错切与垂直错切的矩阵如下：
以下举例示范错切效果。
沿水平方向错切：
沿垂直方向错切
如何计算这一个s值呢？使用tan计算其错切角度即可，举例水平错切：
6.1.3旋转（Rotation）
旋转操作本质是通过改变基向量的方向，使得坐标系中的向量方向发生改变，从而形成图像旋转的效果。
先看如何对向量进行方向改变。假设我们有向量a，其与x轴的夹角为α，欲逆时针旋转φ角度至b。
旋转过后向量的长度不会改变，现a的长度为r，于是有：
因为逆时针旋转φ后b的长度仍为r，于是有：
代入a各方向的表达式，于是可得：
因此，在旋转操作中，我们要把a向量逆时针旋转φ至b向量只需使用如下变换矩阵：
具体使用时钟举例，逆时针旋转45°：
若进行顺时针，只需角度前加负号即可。
同时通过观察公式与计算我们可以发现，旋转矩阵为正交矩阵，这在之后的变换分解会再次提到。
6.1.4反射（Reflection）
吐槽下这个翻译感觉有点奇怪，但解释不奇怪。反射是一个物体变换成它的镜像的映射。
本小节直接列举简单的y轴反射及x轴反射，公式如下：
如下为y轴反射效果：
6.1.5变换的组合与分解（Composition and Decomposition of Transformations）
图像程序中往往会有多种变换，比如先缩放，再做旋转：
以上等式相当于：
如此，可通过矩阵相乘完成一次性变换：
也就是说，我们可以通过M=RS，使用合成M矩阵对图像进行一次线性变换。注意合成矩阵的相乘顺序，比如这里我们先应用S变换，再应用R变换，获得合成矩阵M的顺序为从右往左依次相乘，即M=RS。这部分具体内容涉及线性代数相关的知识。
举例，假设先做缩放，再做旋转。这两个步骤我们可以仅通过一个变换矩阵完成。
对应的等式计算如下：
6.1.6变换的分解
了解变换的组合之后，我们可以通过一个合成矩阵直接进行变换。但是有时候在应用之中，直接给出一个合成矩阵，用户希望看见合成矩阵分解出来的几个步骤过程。
本小节讲述几种可矩阵分解的方法
Symmetric Eigenvalue Decomposition（对称矩阵特征值分解？）
先从对称矩阵（symmetric matrix） 开始。对称矩阵可以通过特征值分解分解为以下形式：
其中R为正交矩阵（orthogonal matrix），S为对角矩阵（diagonal matrix）。我们把R的列（特征向量）称为v1、v2，S矩阵的对角元素（特征值）称为λ1和λ2。
从图形变换的视角，我们可以把R视为旋转矩阵，S视为缩放矩阵，三个变换步骤则对应如下：
- 先旋转v1、v2至x轴与y轴（R的转置矩阵进行变换操作）
- 按照特征值（λ1，λ2）对x、y进行缩放（S矩阵进行变换操作）
- 将x轴与y轴旋转回v1、v2位置（R矩阵进行变换操作）
过程图例如下：
以下我们拿一个对称矩阵进行分解举例，过程中会涉及到线性代数相关的知识。
以上为手写过程举例，最后即可得分解结果
Singular Value Decomposition（奇异值分解）
对于非对称矩阵，可以使用奇异值分解（Singular Value Decomposition， SVD）。SVD可以把任何变换分解为旋转、缩放、旋转三个变换矩阵。
U与V替代了原先的R，它们的列也分别为A的ui（左奇异向量，left singular vectors），vi（右奇异向量，right singular vectors），同时也是不同的正交矩阵。中间S的对称元素也不再是特征值，而是A的奇异值（singular values）。同时，当A为对称矩阵且含有非负特征值时，SVD与特征值分解是相同的。
几个矩阵的变换步骤如下：
- 分别旋转v1、v2至x轴与y轴。（V的转置矩阵进行变换）
- 使用（σ1, σ2）缩放x与y。（S矩阵进行变换）
- 旋转x轴与y轴至u1、u2。（U进行变换）
过程如图例：
奇异值分解的计算思路是通过矩阵A与A的转置矩阵相乘获得对称矩阵，对对称矩阵进行特征值分解。具体接题过程在知乎上看见一篇非常好的文章——奇异值分解的揭秘（一）：矩阵的奇异值分解过程，在此就不赘述了。
书中例子
综上，我们可以发现任何矩阵都可以通过SVD进行分解，分解出来的变换顺序也是旋转、缩放、旋转。
Paeth Decomposition of Rotations
另外一种分解是使用错切来表示非零旋转，由Paeth于1990年提出（/(ㄒoㄒ)/，找不到相关链接）。
公式如下：
比如旋转45°
用三次错切完成了旋转效果。
6.2三维线性变换（3D Linear Transformations）
三维的线性变换是对二维线性变换的扩展，有些变换比较类似，有些情况更为复杂。
比如缩放操作较为简单：
而旋转操作，因为在三维空间中有了更多的旋转轴，因此旋转的情况会更为复杂，以下是三维空间中绕z轴、绕x轴、绕y轴的旋转公式：
下一小节再涉及任意轴的旋转。
对于错切，也可以沿着某一条特定的轴进行操作：
6.2.1任意轴的三维旋转（Arbitrary 3D Rotations）
假设旋转是围绕a向量进行旋转，先对a构建一个坐标系，假设a对应w（对应xyz轴中的z轴），将此坐标系转移至xyz坐标系，此时将物体绕w轴旋转（相当于绕z轴旋转，据此可以用到上文的公式）。旋转完成后，将a对应的坐标系复原即可。
画图表示步骤如下：
对应公式：
了解此步骤时，除了书上内容也结合了油管的视频Linear Algebra 21i: How to Represent a Rotation with respect to an Arbitrary Axis，理解不到位之处还请大佬指教。
6.2.2变换法向量（Transforming Normal Vectors）
表面法向量（surface normals）垂直于与表面相切的平面。在发生三维线性变换时，这些向量的改变并非那么简单。
举个例子，经过M矩阵的变换后，表面的切向量t仍与表面相切，但表面法向量n可能不再与t垂直，也即不再垂直于表面。据此我们可以使用一个矩阵N，使得变换后的n向量与表面垂直。
因为切向量是与法向量垂直的，变换后的切向量仍旧与表面相切：
所以可以利用切向量来获得N矩阵：
其中，
经过一系列的公式变换，可得：
其中mij代表M中相应位置的元素
6.3位移与仿射变换（Translation and Affine Transformations）
以上内容均是用矩阵M进行缩放、错切、旋转、反射的变换，未涉及到位移变换，本小节主要讲述位移变换。
位移变换即是要达到以下效果：
但是2*2矩阵并不能达到此效果，于是可以使用一个巧妙的方法，即：
这便是仿射变换（affine transformation），通过*齐次坐标（homogeneous coordinates）*增加一个维度完成位移。
根据上式，仿射变换既可以完成位移，又可以进行上文的缩放、错切旋转等等操作。
“齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它既能够用来明确区分向量和点，同时也更易用于进行仿射（线性）几何变换。”—— F.S. Hill, JR。
当我们需要区分点与向量时，同样可以用齐次坐标区分。
当此第三个维度用0表示时，若从齐次坐标转换至笛卡尔坐标系，x、y值则表示为(x/0, y/0)即为无穷大。
当第三个维度用1表示时，x、y值则表示为(x, y)，即为点坐标。
在三维空间中，同理增加一个维度：
在往后的透视章节中，我们会看到除了0和1外，齐次坐标更多的应用。
6.4变换矩阵的逆矩阵（Inverses of Transformation Matrices）
变换矩阵可以通过其逆矩阵来恢复其原状，对于合成矩阵也是如此。例如：
其逆变换为：
另外，SVD也可以用于逆矩阵变换。拿三维空间举例：
其逆矩阵为：
6.5坐标系变换（Coordinate Transformations）
上文所讲述的均是使用矩阵变换点的位置，我们也可以通过坐标系的变换来改变点的位置。如下图：
右上角是改变点的位置，右小角是该改变坐标系的位置。两种方式都改变了点在坐标系之中的位置。
当在操控一个具有多坐标系的场景中，为了避免混淆，会有一个全局坐标系（也称为世界坐标系）。比如下图，基于o、x、y的坐标系为全局坐标系，其他坐标系的原点、正交向量位置需要基于全局坐标系。
如上图，在各自的坐标系中可以如此表示其位置：
(xp, yp) = (2.5, 0.9)
(up, vp) = (0.5, -0.7)
我们可以通过全局坐标系及e坐标系的位置关系把它们联系起来：
化简后如下：
我们称此矩阵为(u, v)系统的*frame-to-canonical matrix *。将(u, v)体系中的值转化为全局坐标系中点相同位置的值。
当然，也有canonical-to-frame matrix：
三维场景中同理：
总结
通过此章学习，对于线性代数在计算机图形中的变换本质有了更深刻的理解，也了解到了线性代数的实用之处，在更加复杂的动画、变换之上可能更加需要。
以上内容若有不足之处，还请大佬指教。
参考资料
错切 - Wikipedia
反射 - Wikipedia
矩阵分解（Matrix decomposition） - Wikipedia
对称矩阵（symmetric matrix） - Wikipedia
转置矩阵 - Wikipedia
正交矩阵（orthogonal matrix） - Wikipedia
对角矩阵（diagonal matrix）- Wikipedia
单位矩阵（Identity matrix）
奇异矩阵（singular matrix）- 百度百科
逆矩阵（inverse matrix）- Wikipedia
线性方程组 - Wikipedia
特征值和特征向量 - Wikipedia
Linear Algebra 21i: How to Represent a Rotation with respect to an Arbitrary Axis - Youtube
仿射变换（Affine Transformations）- Wikipedia
什么是齐次坐标系?为什么要用齐次坐标系？ - 格东西的回答 - 知乎
如何通俗地讲解「仿射变换」这个概念？ - 马同学的回答 - 知乎
为什么引入齐次坐标的变换矩阵可以表示平移呢？ - Yu Mao的回答 - 知乎
