hi，你好，我是猿java。在现实生活中，我们对整数和小数的应用随处可见，比如算账、计数、时间、温度、体重等，并且，随着网络的迅速发展，这些场景似乎已经从线下迁移到网上。那么，这些数字是在计算机中是如何存储的呢？今天我们就来一探究竟。在计算机中，通常用定点数和浮点数两种方式来存储实数。 # 定点数 ## 定义定点数，比较简单，从字面上理解为小数点固定的数。比如，100，3.14，200.08等等都可以看成是定点数。通常意义上，定点数表示整数或小数，可以分为以下三种情况： * 纯整数：例如，400，小数点在最后一位，可以忽略 * 纯小数：例如，0.68，小数点固定在最高位 * 整数+小数：例如，3.14、9.18，小数点在指定某个位置接下来，我们一起看看定点数的十进制和二进制的相互转换。 ## 十进制整数转二进制将十进制数转换为二进制数，通过不断地除以 2，直到商为 0。步骤： * 将十进制数除以2，记录商和余数 * 将商再次除以2，记录新的商和余数 * 重复这个过程，直到商为 0为止 * 从下往上读取所有的余数，就得到了转换后的二进制数比如：将十进制的 38转换成二进制 ``` 38 / 2 = 19 余 0 19 / 2 = 9 余 1 9 / 2 = 4 余 1 4 / 2 = 2 余 0 2 / 2 = 1 余 0 1 / 2 = 0 余 1 ``` 所以，(38)₁₀ 的二进制是 (100110)₂ ## 二进制整数转十进制将二进制数转换为十进制数，根据权值展开法，将每一位上的数字与其对应的权值相乘，然后将所有结果相加。权值是 2的幂，从右向左依次增加。例如，将二进制数 100110转换成十进制： ``` 1*2⁵ + 0*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 1*2¹ + 0*2⁰ = 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 0 = 38 ``` 所以，(100110)₂ 的十进制是 (38)₁₀ ## 十进制小数转二进制十进制小数转二进制分两部分：整数部分转换上面已经讲解了，小数部分采用“乘2取整，从上到下顺序排列”。例如，十进制小数 10.75 转为二进制小数： ``` # 整数部分 10 / 2 = 5 余 0 5 / 2 = 2 余 1 2 / 2 = 1 余 0 1 / 2 = 0 余 1 # 小数部分 0.75 \* 2 = 1.5 取整数部分 1 0.5 \* 2 = 1.0 取整数部分 1 ``` 所以，(10.75)₁₀ 的二进制是 (1010.11)₂ ## 二进制小数转十进制十进制小数转二进制分两部分，整数部分转为二进制上面已经讲解了，小数部分采用“乘2取整，从上到下顺序排列”。例如，二进制小数转十进制小数： ``` # 整数部分 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 0*2⁰ = 8 + 0 + 2 + 0 + 2 + 0 = 10 # 小数部分 1*2⁻¹ + 1*2⁻² = 0.5 + 0.25 = 0.75 # 整数部分 + 小数部分 10 + 0.75 = 10.75 ``` 所以，(1010.11)₂ 的十进制是 (10.75)₁₀ ## 定点数的优缺点 ### 优点定点数的精度是固定的，可以根据需求进行灵活调整，这使得它们在需要固定精度的应用中非常有用。 ### 缺点定点数的精度是固定的，这意味着在处理大范围或者需要高精度的数据时，可能会丢失精度或者溢出。比如，以 1个字节（8 bit）为例，假如约定前 4位表示整数部分，后 4位表示小数部分，因此，可以表达的最大数是：(1111.1111)₂=(15.9375)₁₀。如果想要表示更大范围的值，怎么办？ * 增加 bit：比如，使用 2个字节（16 bit）、4个字节（32bit），这样整数部分和小数部分都增加了，表示的数字范围也变大了。 * 小数点右移：小数点右移，整数范围就变大了，因此整个数字范围就变大了，但是小数部分的精度就会越来越低。因此，对于表示大范围或者高精度的数，定点数存在其局限性，这时候“浮点数”就派上用场了。 # IEEE 754 在讲解浮点数之前，我们需要先了解一个很重要的标准：IEEE 754，它是 20世纪80年代以来最广泛使用的浮点数运算标准，为许多 CPU、浮点运算器和编程语言（比如 Java）所采用。这个标准定义了以下规范： * 表示浮点数的格式（包括负零-0）与反常值（Denormal number）； * 一些特殊数值（无穷 Inf与非数值 NaN），以及这些数值的浮点数运算； * 指明了四种数值修约规则和五种例外状况（包括例外发生的时机与处理方式）；另外，在 IEEE 754标准推出之前，各个计算机公司对于浮点数的表示没有一个业界通用的标准，这给数据交换、计算机协同工作造成了极大不便，直到 1985年，IEEE 组织推出了 IEEE 754浮点数标准，才结束了这混乱的局面。 # 什么是浮点数浮点数，是相对定点数而言的，从字面上可以解释为：小数点在浮动的数。在计算机科学中，浮点数是一种用于表示带有小数点的实数的数据类型，通常采用了科学计数法表示。如下例子，十进制小数 300.14，用科学计数法表示，可以有多种方式，整体看上去，小数点好像在浮动。 ``` 300.14 = 30.014 × 10¹ 300.14 = 3.0014 × 10² 300.14 = 0.31004 × 10³ ``` 在 IEEE 754标准中，浮点数在内存中以二进制形式存储，分为四个部分：符号位、基数、指数部分和尾数部分。 * 符号位（Sign bit）：用于表示数值的正负。0表示正数，1表示负数。 * 指数部分（Exponent）：用于表示数值的大小范围。该部分存储的是一个无符号整数，通常采用偏移表示，即用实际指数加上一个固定偏移值。 * 基数（Base）：也称为进制或底数，常见的基数包括十进制（基数为10）、二进制（基数为2）、八进制（基数为8）、十六进制（基数为16）等。 * 尾数部分（Mantissa/Significand）：用于表示数值的精度和小数部分。在IEEE 754中，尾数总是处于\[1,2)之间的一个小数，这样可以省略掉小数点前面的 1，从而节省了一个 bit。注意：significand 和 mantissa 都是用来指代浮点数中的尾数部分，只不过 mantissa是早期计算机的叫法。两个术语可以互换，用来表示浮点数中的尾数部分。下图以 300.14为例展示了一个浮点数的构成： ![image.png](https://p6-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/0bd1c2c027b14d08bef746e54800c754~tplv-k3u1fbpfcp-jj-mark:0:0:0:0:q75.image#?w=1234&h=482&s=51424&e=png&b=fefefe) # 精度和范围在IEEE 754标准中规定了 4种主要的浮点数类型：单精度浮点数（float）、双精度浮点数（double）、延伸单精确度以及延伸双精确度。 **单精度浮点数（float）** 单精度浮点数占用 32位（4个字节），其中，符号占 1位，指数部分占 8位，尾数部分占 23位。指数部分可以表示的范围是 0～255，因为存在偏移量，因此指数的实际范围是从-126～+127，即 2⁻¹²⁶～2¹²⁷，转换成十进制，范围大约为 ±3.4x10⁻³⁸ 到 ±3.4x10³⁸之间。 **双精度浮点数（double）** 双精度浮点数占用 64位（8个字节），其中，符号占 1位，指数部分占 11位，尾数部分占 52位。指数部分可以表示的范围是 0～2047，因为存在偏移量，因此指数的实际范围是从-1022～+1023，即 2⁻¹⁰²²～ 2¹⁰²³，转换成十进制，范围大约为 ±1.7x10⁻³⁰⁸ 到 ±1.7x10³⁰⁸之间。 **延伸单精确度** 因为不常用，所以本文不进行讲解。 **延伸双精确度** 因为不常用，所以本文不进行讲解。关于单精度浮点数和双精度浮点数的二进制表示如下图： ![image.png](https://p3-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/edf7fd1d1a11496786b8ac0cff53bad0~tplv-k3u1fbpfcp-jj-mark:0:0:0:0:q75.image#?w=2014&h=708&s=77067&e=png&b=ffffff) 在了解完定点数和浮点数的一些基本概念之后，接下来讲解浮点数使用IEEE 754标准在内存是如何使用二进制存储的，这里是IEEE 754标准的精华部分，也是比较难理解的部分，我会通过实际的例子结合图形进行分析。 # IEEE 754转换 ## 十进制转IEEE 754单精度浮点数二进制（没有精度丢失）这里以十进制转单精度浮点数并且没有精度丢失为例，核心流程包含 5个步骤： **1. 确认 Sign符号位** 比如，19.59375的符号为 0（正数），-1.1的符号为 1（负数），将结果值（0/1）填充到二进制的 Sign bit区域。 **2. 将十进制转成纯二进制** 这个步骤，只是存粹的将十进制转换成二进制。 * 对于整数部分，通过不断地除以 2，直到商为 0； * 对于小数部分，采用逐步乘 2取整，直到小数部分为 0或达到尾数所需的精度；需要注意，对于小数部分处理结束的条件有 2个：小数部分为0 或达到尾数所需的精度。只要满足一个就OK，这里也是为什么小数会丢精度的关键所在，在下面的例子会进行讲解。对于没有精度丢失的转换，结束的条件是：小数部分为 0。比如，0.25转成二进制 ``` 0.25 x 2 = 0.5 0 0.5 x 2 = 1.0 1 小数部分为0，结束 ``` **3. 标准化以确定尾数和无偏移指数** 根据 IEEE 754标准，需要将二进制小数点放在最左边的 1 之后，比如，100.101需要左移 2位，变成 1.00101x2²，无偏移指数是 2；0.0011需要右移 3位，变成 1.1x2⁻³，无偏移指数是 -3。这个步骤其实就是 IEEE 754标准的一个硬性规定，解决了上面提到的浮点数漂浮不定的问题。 **4. 确认偏移指数** [偏移指数](#exponent-bias)，即用无偏移指数（步骤3 产生的结果）加上固定的偏移值127(2⁸-1=127)，再转换成二进制。假如，无偏移指数是 4，那么，偏移指数就等于`4+127=131`，转换成二进制就是`10000011`，然后，将二进制结果值`10000011`填充到 Exponent指数区域。 **5. 移除尾数的前导 1** 在步骤3中，需要将二进制小数点放在最左边的 1 之后，因此，每个小数点前面的值都是固定的 1（也叫做前导 1），在 IEEE 754标准中，会将这个前导 1移除，从而节省了 1个bit，再将结果值填充到二进制的 Significand尾数区域，不足部分填 0。比如，`1.001110011` 移除小数点前固定的 1 变成了`001110011`，然后将结果值`001110011`填充到 Significand尾数区域。为了更好的解释上面 5个步骤，这里以十进制`19.59375`转换成IEEE 754二进制为例进行讲解，整个过程如下图： ![image.png](https://p6-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/2b1a06ee2ad64101a9909ac2109b5191~tplv-k3u1fbpfcp-jj-mark:0:0:0:0:q75.image#?w=2246&h=1458&s=349389&e=png&b=fdfdfd) ## 十进制转IEEE 754单精度浮点数二进制（有精度丢失）这里以十进制转单精度浮点数并且有精度丢失为例，核心流程包含 6个步骤： **1. 确认 Sign符号位** 比如，19.59375的符号为 0（正数），-1.1的符号为 1（负数），将结果值（0/1）填充到二进制的 Sign bit区域。 **2. 将十进制转成纯二进制** 这个步骤，只是存粹的将十进制转换成二进制。 * 对于整数部分，通过不断地除以 2，直到商为 0； * 对于小数部分，采用逐步乘 2取整，直到小数部分为 0或达到所需的精度；需要注意，对于小数部分处理结束的条件有 2个：小数部分为0 或达到尾数所需的精度。对于**有精度丢失**的转换，结束的条件是：达到所需的精度。比如，0.3转成二进制 ``` 0.3 x 2 = 0.6 0 0.6 x 2 = 1.2 1 0.2 x 2 = 0.4 0 0.4 x 2 = 0.8 0 0.8 x 2 = 1.6 1 0.6 x 2 = 1.2 1 开始进入循环，只能达到所需的精度后按需舍入结束 0.2 x 2 = 0.4 0 ``` **3. 标准化以确定尾数和无偏移指数** 根据 IEEE 754标准，需要将二进制小数点放在最左边的 1 之后，比如，100.101需要左移 2位，变成 1.00101x2²，无偏移指数是 2；0.0011需要右移 3位，变成 1.1x2⁻³，无偏移指数是 -3。这个步骤其实就是 IEEE 754标准的一个硬性规定，解决了上面提到的浮点数漂浮不定的问题。 **4. 确认偏移指数** [偏移指数](#exponent-bias)，即用无偏移指数（步骤3 产生的结果）加上固定的偏移值127(2⁸-1=127)，再转换成二进制。假如，无偏移指数是 4，那么，偏移指数就等于`4+127=131`，转换成二进制就是`10000011`，然后，将二进制结果值`10000011`填充到 Exponent指数区域。 **5. 移除尾数的前导 1** 在步骤3中，需要将二进制小数点放在最左边的 1 之后，因此，每个小数点前面的值都是固定的 1（也叫做前导 1），在 IEEE 754标准中，会将这个前导 1移除，从而节省了 1bit，再将结果值填充到二进制的 Significand尾数区域，不足部分填0。比如，`1.001110011` 移除小数点前固定的 1 变成了`001110011`，然后将结果值`001110011`填充到 Significand尾数区域。 **6.按需向上或者向下舍入** 在步骤2中，小数部分转换成二进制的时候不是因为乘 2使得小数部分为 0结束，而是因为产生了循环，导致达到了尾数所需的精度（单精度 23bit，双精度 52bit），对于超出的精度范围，需要如何处理？答案：[按需向上或者向下舍入] 为了更好的解释上面 6个步骤，这里以十进制`-123.3`转换成 IEEE 754二进制为例进行讲解，整体流程如下图： ![image.png](https://p9-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/3ca5fbeba05b43ecbc672f00c089c536~tplv-k3u1fbpfcp-jj-mark:0:0:0:0:q75.image#?w=2214&h=1574&s=486668&e=png&b=fefefe) > 注意：截图中步骤6黄色字体`1001`，是指超出尾数 23bit范围的二进制数，需要被舍入通过上面两个例子的分析，相信大家还是会有困惑：为什么是二进制中存储的是偏移指数而不是指针？为什么偏移指数是通过指数加上一个固定的偏移值？这个固定的偏移值是怎么计算的？为什么尾数需要把前导 1移除？ IEEE 754 的舍入规则是什么？下面我们就一一解答。 # IEEE 754单精度浮点数二进制转十进制为了帮助大家更好地理解 IEEE 754的转换，这里还提供了 2个 IEEE 754单精度浮点数二进制转十进制的逆向例子，如下图： ![image.png](https://p3-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/0ce1fc83bffd4d44aebb57d4c2a6387f~tplv-k3u1fbpfcp-jj-mark:0:0:0:0:q75.image#?w=2804&h=1306&s=807563&e=png&b=f7f7f7)

偏移指数

偏移指数，也叫指数偏移值（exponent bias），即浮点数表示法中指数域的编码值，等于指数的实际值加上某个固定的偏移值，IEEE 754标准规定该固定值偏移为`2 ͤ⁻¹-1`，其中 e为存储指数的 bit长度，因此，单精度浮点数的固定偏移值是`2⁸⁻¹-1=127`，双精度浮点数的固定偏移值是`2¹¹⁻¹-1=1023`。 ## 为什么需要偏移指数？从 `1.00101 x 2²` 和 `1.1 x 2⁻³` 可以看出来，指数有正负数的区分，即有符号的区分，因此，IEEE 754标准中的偏移指数主要解决两个问题： 1. 表示负指数：在使用二进制表示浮点数的指数时，如果采用纯粹的二进制表示，那么需要额外的符号位来表示指数的正负。采用偏移指数的方式，可以将指数全部看作非负数，因为将偏移量添加到指数部分后，所有的指数都是正数，0则表示了最小的指数。 2. 排序浮点数：使用偏移指数的方式可以更容易地对浮点数进行排序。因此第 1点已经把指数全部转换成了无符号，所以，浮点数的比较直接变成了对二进制的自然排序比较，不需要单独处理符号位和指数部分的符号。 ## 固定值偏移值如何计算？ **单精度浮点数** 对于单精度浮点数，它的指数域是 8个bit，表示的有符号范围是`-127～128(-2⁷-1 ~ 2⁷)`，如何让这个范围 >=0 ？答案：加上 127。所以，IEEE 754标准把 127设定为单精度浮点数的固定偏移值。 **双精度浮点数** 同理，对于双精度浮点数，它的指数域是 11个bit，表示的有符号范围是`-1023～1024(-2¹⁰-1 ~ 2¹⁰)`，如何让这个范围 >=0 ？答案：加上 1023。所以，IEEE 754标准把 1023设定为双精度浮点数的固定偏移值。具体信息如下图： ![image.png](https://p6-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/e34e846ecbfe4fb78860a53c7f32722a~tplv-k3u1fbpfcp-jj-mark:0:0:0:0:q75.image#?w=1680&h=298&s=196005&e=png&b=6b9dd7) ## 为什么要移除尾数的前导 1？在讲解浮点数构成时提过，浮点数的小数点是浮动的，因此，IEEE 754标准定义了一套固定的格式：在二进制数中，通过移位，将小数点前面的值固定为 1，IEEE754 称这种形式的浮点数为规范化浮点数。因此，对于规范化浮点数，既然尾数的前导永远是 1，那干脆不存储，尾数其实比实际的多 1位，也就是说单精度的是 24位，双精度是 52位。

IEEE 754 的舍入规则

关于舍入，IEEE 754标准提供了 4种方法： **1. 舍入到最接近** 这是 IEEE 754标准的默认方式，将结果舍入为最接近且可以表示的值，但是当存在两个数一样接近的时候，则取其中的偶数（在二进制中是以0结尾的）。取偶数最关键的步骤是找到一个中间值，先确定要保留的有效数字，找到要保留的有效数字最低位的下一位。如果这位是进制的一半，而且之后的位数都为 0，则这个值就是中间值。这里以二进制为例，有效位数保留到小数点后 2位： * 10.00011，中间值为 10.00100，小于中间值，向下舍入为 10.00 * 10.00110，中间值为 10.00100，大于中间值，向上舍入为 10.01 * 10.11100，中间值为 10.11100，等于中间值，要保留的最低有效位 1 为奇数，向上舍入为 11.00 * 10.10100，中间值为 10.10100，等于中间值，要保留的最低有效位 0 为偶数，向下舍入为 10.10 因此，上述十进制`-123.3`转换成 IEEE 754二进制例子的舍入方式，采用向上舍入，即最后一位 +1。 **2. 朝 +∞方向舍入** 3个要点： * 正数多余位不全为 0，进位1 * 正数多余位全为 0，直接截尾 * 负数直接截尾这里以二进制为例，有效位数保留到小数点后 3位： * 0.0011001，正数，从小数点后 4位起，不全为0，则向上进位（最后一位 +1），结果值为 1.010， * 0.0010000，正数，从小数点后 4位起，全为0，则直接截尾（从 4位起全部舍弃），结果值为 0.001 * \-0.0011010，负数直接截尾（从 4位起全部舍弃），结果值为 -0.001 **3. 朝 -∞方向舍入** 3个要点： * 正数直接截尾 * 负数多余位全为0，直接截尾 * 负数多余位不全为 0，进位1 这里以二进制为例，有效位数保留到小数点后 3位： * 0.0011001，正数，则直接截尾（从 4位起全部舍弃），结果值为 0.001 * \-0.001000，负数，从小数点后 4位起全为 0，则直接截尾（从 4位起全部舍弃），结果值 -0.001 * \-0.001101，负数，从小数点后 4位起不全为 0，则向上进位（最后一位 +1），结果值-0.010 **4. 朝 0方向舍入** 2个要点： * 正数直接截尾 * 负数直接截尾数学上有 4舍5入，计算机中 0舍1入，因此，朝 0方向舍入就是直接舍弃。这里以二进制为例，有效位数保留到小数点后 3位： * 0.001100，正数，则直接截尾（从 4位起全部舍弃）弃，结果值 0.001 * \-0.001100，负数，则直接截尾（从 4位起全部舍弃）弃，结果值 -0.001 # 非规范化浮点数上文提到了规范化浮点数，既然有规范化浮点数，是不是也存在非规范化浮点数？非规范化浮点数又是什么呢？在 IEEE 754标准中，将“指数部分全是0，尾数部分非0”这样的浮点数称为非规范化浮点数，一般用于表示 0或者无限接近 0的很小的数字。另外，IEEE 754标准还规定：非规范化浮点数的指数偏移值比规范化浮点数的指数偏移值小 1。例如，最小的规范化单精度浮点数的指数部分编码值为1，指数的实际值为-126；而非规范化的单精度浮点数的指数域编码值为0，对应的指数实际值也是 -126 而不是-127。实际上非规范化浮点数仍然是有效可以使用的，只是它们的绝对值已经小于所有的规约浮点数的绝对值；即所有的非规范化浮点数比规约浮点数更接近0。规约浮点数的尾数大于等于1且小于2，而非规范化浮点数的尾数小于1且大于0。下图展示了非规范化单精度浮点数的二进制表示： ![image.png](https://p9-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/06c3b5bbc7fd44198b2898566917cca1~tplv-k3u1fbpfcp-jj-mark:0:0:0:0:q75.image#?w=1992&h=340&s=38760&e=png&b=ffffff) # 特殊值另外，IEEE 754中还定义4个特殊值，如下表： ![image.png](https://p1-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/f6b4968dfbd64081ae81a62c18436bdd~tplv-k3u1fbpfcp-jj-mark:0:0:0:0:q75.image#?w=1398&h=484&s=126435&e=png&b=fafafa) * 正负无穷大：指数全是 1，尾数全是 0，代表这个数是正负无穷大（±∞），正负取决于 S符号位。 * NaN：指数全是 1，尾数非 0，代表这不是一个数字（NaN，Not a Number）。 * 0：指数全是 0，尾数全是0，代表这个数是±0，正负取决于 S符号位。 * 很小的值：指数全是 0，尾数不全是0，代表这个数是一个很小的非规范化浮点数。 # 浮点数的比较有了 IEEE 754标准，浮点数的比较就很简单，基本上可以按照符号位、指数域、尾数域的顺序作字典比较。显然，所有正数大于负数；正负号相同时，指数的二进制表示法更大的其浮点数值更大。 # 浮点数的运算与函数浮点数的运算和函数包含以下几种: * 加减乘除（Add、subtract、multiply、divide）。在加减运算中负零与零相等：−0.0=0.0 * 平方根（Square root）： * 浮点余数。返回值 x-(round(x/y)\*y)。 * 近似到最近的整数 𝑟 𝑜 𝑢 𝑛 𝑑(𝑥)。如果恰好在两个相邻整数之间，则近似到偶数。 * 比较运算. -Inf <负的规范化浮点数数<负的非规范化浮点数< -0.0 = 0.0 <正的非规范化浮点数<正的规范化浮点数< Inf； * 特殊比较： -Inf = -Inf, Inf = Inf, NaN与任何浮点数（包括自身）的比较结果都为假，即 (NaN ≠ x) = false. # 为什么 1.0 - 0.9 != 0.1? 先看 Java中的一个例子： ![image.png](https://p1-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/0110584b4e964f9cbe2e24f52f96eb47~tplv-k3u1fbpfcp-jj-mark:0:0:0:0:q75.image#?w=581&h=613&s=92314&e=png&b=fdfcfc) 通过运行结果可以发现：在 Java中，不管是单精度 float，还是双精度 double，`1.0 - 0.9 != 0.1`，为什么？从上面的讲解，我们已经知道浮点数 IEEE 754标准在内存中的存储方式，这里我们再简单的分析`1.0 - 0.9`场景： 1.0 可以精确转换成IEEE 754标准二进制为：`0 01111111 00000000000000000000000` 0.9 转换成IEEE 754标准二进制为： ``` 符号位：0 偏移指数： -1 + 127 = (126)₁₀ = (0111 1110)₂ 尾数： 0.9 x 2 = 1.8 1 0.8 x 2 = 1.6 1 0.6 x 2 = 1.2 1 0.2 x 2 = 0.4 0 0.4 x 2 = 0.8 0 0.8 x 2 = 1.6 1 开始进入循环，只能达到所需的精度后按需舍入结束 0.6 x 2 = 1.2 1 ``` 在0.9 转换成 IEEE 754标准的二进制时，出现了循环，这样的话，不管是单精度还是双精度，0.9转换成二进制之后都有精度损失，所以，对于 float 或者 double浮点数 0.9，转换后其真实值已经不是 0.9，因此，`1.0 - 0.9 != 0.1`。当然，除了这个例子，还有很多经典的例子，比如 0.1 + 0.2 为什么等于 0.30000000000000004? 那么，如何保证`1.0 - 0.9 == 0.1`呢？我会在另外一篇文章进行详细的讲解，敬请期待！ # 总结本文讲解了定点数和浮点数，重点分析了浮点数以及IEEE 754标准下浮点数是如何存储的。 * 浮点数一般用科学计数法表示 * IEEE 754标准的浮点数二进制实际包含：符号位，偏移指数，尾数 3部分。 * 十进制小数在转换为二进制时，如果可以精确转换，则不存在精度丢失。 * 十进制小数在转换为二进制时，如果无法精确转换（存在循环或者超出尾数的范围），则存在精度丢失的问题。 * IEEE 754舍入规则有 4种方法：舍入到最接近、朝 +∞方向舍入、朝 -∞方向舍入以及朝 0方向舍入。 # 参考资料 [IEEE 754 维基百科](https://zh.wikipedia.org/zh-hans/IEEE_754) [字符大全](https://m.fuhaoku.net/fuhao/191.html) [ieee-754在线转换](https://baseconvert.com/ieee-754-floating-point) [进制在线转换](https://baseconvert.com/) [IEEE 754 Standard for Floating Point Binary Arithmetic](https://www.youtube.com/watch?v=RuKkePyo9zk) [Why 0.1 + 0.2 === 0.30000000000000004: Implementing IEEE 754 in JS](https://www.youtube.com/watch?v=wPBjd-vb9eI) [How to perform round to even with floating point numbers](https://stackoverflow.com/questions/8981913/how-to-perform-round-to-even-with-floating-point-numbers) [IEEE 754 的舍入规则](https://blog.leodots.me/post/45-ieee754-rounding-rules.html)