--- theme: orange highlight: default --- 本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。 ## 关于01背包的几个问题 - 背包问题的动态转移方程是怎么来的？ - 你能解释背包问题的两个`for`循环的意义嘛？ - 为什么需要两个`for`循环，一个循环行不行？ - 01背包问题的`for`循环一定要从0开始吗？ - 01背包滚动数组的优化原理是什么？ - 01背包只用不用二维数组只用一位数组的依据是什么？这些问题在阅读完本文之后你将会得到答案！ ## 01背包问题介绍 >有 $N$件物品和一个容量是 $V$ 的背包。每件物品只能使用`一次`。第$i$件物品的体积是$v_i$，价值是 $w_i$。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。比如下面的4个物品，背包能够承受的最大重量为5，我们应该如何选择，使得我们获得的总价值最大： | 物品 | 重量 | 价值 | | ---- | ---- | ---- | | A | 1 | 2 | | B | 2 | 4 | | C | 3 | 4 | | D | 4 | 5 | 这个问题还是比较简单，我们直接看就知道选择物品B和物品C得到的价值最大。那么我们如何设计一个算法去实现这个问题呢？首先对于每一个物品都有两种情况，选择和不选择，我们需要选择两种情况当中能够获取最大价值的那种情况。 ## 01背包问题动态转移方程首先我么先要确定一个信息就是没件物品只有一件，选完就没有了。如果我们的背包当中还有剩余容量可以放下某个物品，那么对于这个物品我们就有两种选择：`选`或者`不选`。我们定义数组`dp[i][j]`，其含义是对于前`i`件物品，在我们的背包容量为`j`的情况下我们能够获得的最大的收益，如果我们有`N`件物品，背包容量为`V`，那么我们能够获得的最大价值为`dp[N][V]`，因为他表示的是对于前`N`个物品，在背包容量为`V`的情况下我们能够获取到的最大的价值。我们可以得到下面的公式： $$ dp[i][j]=max(dp[i - 1][j - v[i]] + w[i], dp[i - 1][j])，如果背包的容量大于等于物品 i 占的体积 $$ $$ dp[i][j]=dp[i - 1][j]，如果背包的容量小于物品 i 占的体积 $$ - 第一种情况（背包容量大于等于第`i`件物品的体积`v[i]`时）： - 在这种情况下我们对于第`i`件物品有两种选择，一种是将其放入背包当中，另外一种就是不选他，那么我们就可以使用容量为`j`的背包在前`i-1`件物品进行选择。 - 如果我们选第`i`件物品，那么我们背包剩下的容量就为`j - v[i]`，我们还能选择的物品就是前`i - 1`个物品，这个情况下能够获得的最大的收益为$dp[i - 1][j - v[i]]$，再加上我们选择的第`i`件物品的价值，我们选择第`i`件物品能够获得的总收益为`dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]`。 - 如果我们不选择第`i`件物品，那么我们背包剩余容量仍然为`j`，而且我们只能从前`i - 1` 个商品当中进行选择，那么我们最大的收益就为`dp[i - 1][j]`。 - 第二种情况（背包容量小于第`i`件物品的体积`v[i]`时）： - 这种情况下我们只能够选择前`i - 1`个商品，因此我们能够获取的最大收益为`dp[i - 1][j]`。 ## 01背包数据依赖问题分析在上文当中我们已经分析出来了我们的动态转移方程： $$ dp[i][j]=max(dp[i - 1][j - v[i]] + w[i], dp[i - 1][j])，如果背包的容量大于等于物品 i 占的体积 $$ $$ dp[i][j]=dp[i - 1][j]，如果背包的容量小于物品 i 占的体积 $$ 根据上面两个公式分析，我们知道要想解出`dp[i][j]`的值，我们首先需要知道`dp[i - 1][j - v[i]]`的值和`dp[i - 1][j]`的值，他们之间的依赖关系如下图所示： ![01-dp34.png](https://p6-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/3e1d9ac7dcfa4006ac8b571cb937e845~tplv-k3u1fbpfcp-watermark.image?) 基于上面的数据依赖关系，我们知道我们如果想求`dp[N][V]`的值，首先要求出`dp`数组第`N - 1`行的所有的值，因为`dp[N][V]`依赖`dp[N - 1][V]`，而且可能依赖`dp[N - 1][i]`的值（`i`大于等于`0`，小于`V`），而`dp[N - 1][V]`又依赖`dp[N - 2][V]`...... 根据上面的分析过程，如果我们想计算出`dp[N][V]`的结果，那就需要从第`1`行开始往后计算，一直算到第`N`行，因此我们可以写出下面的代码： `Java`版本： ```java import java.util.Scanner; public class Main { public static int backpack(int[] w, int[] v, int N, int V) { int[][] dp = new int[N + 1][V + 1]; // 初始化 for (int i = v[1]; i <= V; ++i) { dp[1][i] = w[1]; } // 第一行已经初始化从第二行开始 for (int i = 2; i <= N; ++i) { for (int j = 0; j <= V; ++j) { if (j >= v[i]) dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j - v[i]] + w[i], dp[i - 1][j]); else dp[i][j] = dp[i - 1][j]; } } return dp[N][V]; } public static void main(String[] args) { Scanner scanner = new Scanner(System.in); int N = scanner.nextInt(); int V = scanner.nextInt(); int[] w = new int[N + 1]; int[] v = new int[N + 1]; for (int i = 1; i <= N; i++) { v[i] = scanner.nextInt(); w[i] = scanner.nextInt(); } System.out.println(backpack(w, v, N, V)); } } ``` `C++`版本： ```c++ #include using namespace std; #define L 20000 int w[L]; // 物品价值 int v[L]; // 物品体积 int dp[L][L]; int N; // 物品数量 int V; // 背包的体积 int backpack() { // 初始化 for (int i = v[1]; i <= V; ++i) { dp[1][i] = w[1]; } // 第一行已经初始化从第二行开始 for (int i = 2; i <= N; ++i) { for (int j = 0; j <= V; ++j) { if (j >= v[i]) dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - v[i]] + w[i], dp[i - 1][j]); else dp[i][j] = dp[i - 1][j]; } } return dp[N][V]; } int main() { cin >> N >> V; for (int i = 1; i <= N; ++i) { cin >> v[i] >> w[i]; } cout << backpack(); return 0; } ``` ![01-dp33.png](https://p9-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/64293a4c51564894bf1ab7244c91e91e~tplv-k3u1fbpfcp-watermark.image?) 从上图看我们在计算第`i`的数据的时候我们只依赖第`i - 1`行，我们在第`i`行从后往前遍历并不会破坏动态转移公式的要求。因此下面的代码也是正确的： ```java public static int backpack(int[] w, int[] v, int N, int V) { int[][] dp = new int[N + 1][V + 1]; // 初始化 for (int i = v[1]; i <= V; ++i) { dp[1][i] = w[1]; } // 第一行已经初始化从第二行开始 for (int i = 2; i <= N; ++i) { // 这里是从末尾到0 // 前面是从0遍历到末尾 for (int j = V; j >= 0; --j) { if (j >= v[i]) dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j - v[i]] + w[i], dp[i - 1][j]); else dp[i][j] = dp[i - 1][j]; } } return dp[N][V]; } ``` ## 01背包问题优化——滚动数组我们在解决背包问的时候我们是开辟了一个二维数组`dp`，那么我们能不能想斐波拉契数列那样降低算法的空间复杂度呢？我们已经很清楚了我们在计算`dp`数据的时候进行计算的时候只使用了两行数据，那么我们只需要申请两行的空间即可，不需要申请那么大的数组空间，计算的时候反复在两行数据当中交替计算既可。比如说我们已经计算好第一行的数据了（初始化），那么我们可以根据第一行得到的结果得到第二行，然后根据第二行，将计算的结结果重新存储到第一行，如此交替反复，像这种方法叫做`滚动数组`。下面的代码当中`dp`数组是从第0行开始使用的，前面的代码是从第一行开始的。 ```java import java.util.Scanner; public class Main { public static int backpack(int[] v, int[] w, int V) { int N = w.length; int[][] dp = new int[2][V + 1]; for (int i = v[0]; i < V; ++i) { dp[0][i] = w[0]; } for (int i = 1; i < N; ++i) { for (int j = V; j >= 0; --j) { if (j >= v[i]) dp[i % 2][j] = Math.max(dp[(i - 1) % 2][j], dp[(i - 1) % 2][j - v[i]] + w[i]); else dp[i % 2][j] = dp[(i - 1) % 2][j]; } } return dp[(N - 1) % 2][V]; } public static void main(String[] args) { Scanner scanner = new Scanner(System.in); int N = scanner.nextInt(); int V = scanner.nextInt(); int[] w = new int[N]; int[] v = new int[N]; for (int i = 0; i < N; i++) { v[i] = scanner.nextInt(); w[i] = scanner.nextInt(); } System.out.println(backpack(v, w, V)); } } ``` ## 背包空间再优化——单行数组和它的遍历顺序问题我们还能继续压缩空间吗🤣？我们在进行空间问题的优化的时候只要不破坏动态转移公式，只需要我们进行的优化能够满足`dp[i][j]`的计算在它所依赖的数据之后计算即可。 ```java import java.util.Scanner; public class Main { public static int backpack(int[] v, int[] w, int V) { int N = w.length; int[] dp = new int[V + 1]; for (int i = v[0]; i < V; ++i) { dp[i] = w[0]; } for (int i = 1; i < N; ++i) { for (int j = V; j >= v[i]; --j) { dp[j] = Math.max(dp[j - v[i]] + w[i], dp[j]); } } return dp[V]; } public static void main(String[] args) { Scanner scanner = new Scanner(System.in); int N = scanner.nextInt(); int V = scanner.nextInt(); int[] w = new int[N]; int[] v = new int[N]; for (int i = 0; i < N; i++) { v[i] = scanner.nextInt(); w[i] = scanner.nextInt(); } System.out.println(backpack(v, w, V)); } } ``` 我们现在来好好分析一下上面的代码： - 根据动态转移公式`dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - v[i]] + w[i], dp[i - 1][j])`我们知道，第`i`行的第`j`个数据只依赖第`i - 1`行的前`j`个数据，跟第`j`个数据之后的数据没有关系。因此我们在使用一维数组的时候可以从后往前计算（且只能从后往前计算，如果从前往后计算会破坏动态转移公式，因为第`j`个数据跟他前面的数据有依赖关系，跟他后面的数据没有依赖关系）就能够满足我们的动态转移公式。 ![](https://p3-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/b12e2c7a24674712a4d7be9a916df24d~tplv-k3u1fbpfcp-zoom-1.image) - 如果我们从在使用单行数组的时候从前往后计算，那么会使得一维数据前面部分数据的状态从`i - 1`行的状态变成第`i`行的状态，像下面这样。 ![](https://p3-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/1c9b40352b954ec08d71074c179ac9d8~tplv-k3u1fbpfcp-zoom-1.image) 但是一维数组当中后部分的数据还是`i - 1`行的状态，当我们去更新他们的时候他们依赖前面部分数据的`i - 1`行的状态，但是他们已经更新到第`i`的状态了，因此破坏了动态规划的转移方程，但是如果我们从后往前进行遍历那么前面的状态始终是第`i - 1`行的状态，因此没有破坏动态规划的转移方程，因此我们需要从后往前遍历。 ![](https://p3-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/af2a73d06ec94232a2bb83e02d44d251~tplv-k3u1fbpfcp-zoom-1.image) ## 问题答案如果你已经看懂上面所谈论到的内容的话，关于前面的几个问题相信你已经有了答案。上面那些问题最终涉及到的就是01背包问题的动态转移方程了，我们在写代码的时候一定不能破坏动态转移方程，也就是要满足动态转移方程的依赖关系，即第`i`行的第`j`个数据只依赖第`i - 1`行的前`j`个数据，跟第`j`个数据之后的数据没有关系。 - 背包问题的两个`for`循环的意义： - 因为我们需要解出`dp`数组当中第`N`行第`V`列的数据，所以我们需要解出二维数组当中所有的数据，因此我们需要进行二维数组的遍历，进行一维遍历不行。 - 01背包问题的`for`循环一定要从0开始吗？ - 不一定，我们只需要满足动态转移方程的数据依赖要求就行，不管是从前往后还是从后往前我们在使用二维`dp`数组的遍历的时候都可以满足数据依赖的要求。但是我们如果使用一维数组的时候就一定要从后往前遍历，因为如果从前往后遍历，第`i`行状态会覆盖第`i - 1`行的状态，而数组后面的数据需要`i - 1`行状态的数据，而它有被覆盖了因此不行。 - 其余问题的答案在阅读完本文之后相信你心里已经很清楚了！！！ ## 动态规划为什么叫动态规划首先我们需要明白什么是`规划`所谓的`规划 `就是寻找最优值的过程，比如说我们在旅行的时候做规划就是为了又更好旅行体验，而我们在做算法题的时候需要找到最好的结果，比如在背包问题当中我们要找到价值最大的一种选择，这也是一种规划，那为什么是动态的呢？所谓动态就是我们在寻找最优值的过程当中，选择是变化的。比如说对于背包问题的公式`dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - v[i] + w[i], dp[i - 1][j])`我们在计算出结果之前并不知道那种选择好，因为我们要选择两者中间值较大的哪个选择，这就是动态选择的过程！所以动态规划被称作动态规划！ ## 总结本篇文章主要带大家从0开始剖析01背包问题，主要分享一些基本但经常被忽略的问题，比如二重循环是如何被写出来的，for循环的顺序问题，数组空间优化问题的原理，用一维数组解决01背包问题！希望大家有所收获，我是LeHung，我们下期再见！！！ --- 更多精彩内容合集可访问项目：关注公众号：一无是处的研究僧，了解更多计算机（Java、Python、计算机系统基础、算法与数据结构）知识。