如何理解dfa最重要的构造过程

在一切开始之前，我希望你已经掌握下面几点基础知识，也是为了方便你跟着我的思路理解KMP。

本文基于《算法第四版》的KMP的教程。所以对于dfa的定义你一定要清楚，如果还不清楚dfa的定义，建议先看看书
先看一下这篇文章https://zhuanlan.zhihu.com/p/83334559，它讲解了KMP的一些基础知识，而且对于最长公共前缀的讲解也不错。你一定要理解最长公共前缀在KMP中有什么意义，是干嘛的，否则，接下来的讲解你都看不懂。
还是推荐先看一下这篇文章，理解什么是重启状态
最好知道字符串查找的暴力算法

参考文章：ttps://zhuanlan.zhihu.com/p/83334559

《算法》里面对dfa的定义和我刚才推荐的文章的定义是有点相反的，注意一下。

重启状态的定义

当C匹配文本字符失败后，会继续使用重启位置处的模式字符和该文本进行匹配

好了，让我们开始吧。

本文的讲解基于该算法

    public KMP(char[] pattern， int R) {
        this.R = R;
        this.pattern = new char[pattern.length];
        for (int j = 0; j < pattern.length; j++) {
            this.pattern[j] = pattern[j];
        }
        int m = pattern.length;
        dfa = new int[R][m];
        // 定义一个最基础的dfa
        dfa[pattern[0]][0] = 1;
        int X = 0;// 初始化重启状态
        for (int j = 1; j < m; j++) {
            for (int c = 0; c < R; c++) {
                dfa[c][j] = dfa[c][X];// 把重启状态的dfa的值赋给j
            }
            dfa[pattern[j]][j] = j + 1;// 匹配成功，+1
            X = dfa[pattern[j]][X];// 更新重启状态
        }
    }

而重心则在于讲解X = dfa[pattern[j]][X];这一句。前面的逻辑只要你看了上面推荐的那篇文章应该就能看懂，但是我相信这句代码的逻辑是很多人苦思冥想都不明白的。

X = dfa[pattern[j]][X];// 更新重启状态

0. 场景模拟

  ABABB         文本
  ABABAC        模式

如上所示，我们在匹配 A₄ 时失败了，那么该模式字符会进入重启状态，并且会继续使用重启位置处的模式字符和B进行匹配

而重启状态其实就是和 A₄ 拥有最长公共前缀的那个字符。

什么，这一点你不知道吗？还不去看看那篇推荐的文章！或者接着看也行，因为我也有做解释。

1. 为什么重启状态就是拥有最长公共前缀的那个字符？

我们的目的是找到重启状态，其实，就是为了寻找拥有最长公共前缀的那个字符！

为什么呢？

原因可以用暴力回退算法来模拟得知：

回退处理与重启状态的关系

在暴力算法中，如果某个模式字符匹配失败，整个模式字符串都要回退。

回退之后，当匹配完前面几个字符，下一个要去匹配文本的字符就是重启状态的字符

我们通过一个暴力算法的例子来了解其中关系

ABABB         文本
ABABAC        模式

比如说，在上面的匹配中， A₄ 没有匹配上B，在回退算法中，下一步就要从这种状态开始执行算法

ABABB         文本
 ABABAC       模式

在经历了几次回退算法之后，文本和模式之间的关系会变成这样

  ABABB         文本
    ABABAC      模式

这是不是相当于，在第一次匹配失败之后，就直接尝试用 A₂ 去匹配B呢？

所以 A₂ 就是在 A₄ 匹配失败之后的重启位置！

我们的目的就是找到像 A₂ 这样的字符，和 A₄ 具有重合的最长公共前缀。

而且：对于相邻两个字符B和C而言，C在模式中的最长公共前缀一定包含B的最长公共前缀！

2. 通过什么方式计算重启状态？

我们通过前一个模式字符 B₃ 的重启状态 B² 来匹配上一个文本字符B，通过dfa可以计算出匹配结果，这个匹配结果就是 A₄ 重启状态。

换句话说，下一个字符的重启状态可以使用 X = dfa[B][B^*] 来计算

重启状态公式的正确写法

上面我写着 X = dfa[B][B²] ，严格来说，重启状态的表达式是：X = dfa[pattern[j]][X];，在算法中也是这样表达的。

因为在上面的例子中，pattern[j]就是B，所以就写成了 X = dfa[B][B²] 。

还有，《算法》里面对dfa的定义和我刚才推荐的文章的定义是有点相反的，注意一下。

3. 为什么可以通过这种方式计算重启状态？

我们已知的条件有：

B的重启位置是 B² ， B² 对应的模式字符不一定等于B
模式字符C匹配失败的那个文本的上一个文本字符，一定是B！

在C匹配失败后，会用重启状态 C² 处的模式字符来重新匹配那个文本字符。但是，我们不知道这个重启状态的索引，好在我们知道上一个模式字符B的重启状态的索引。

假如说 C² 要去重新匹配那个文本字符，那么在此之前， B² 也一定要与上一个文本字符B匹配成功。

模式与文本匹配成功，通过dfa可以计算出下一个与文本匹配的模式的下标，即 B² +1，就是 C² 的位置！！

这个结果与通过暴力回退算法模拟的情况也是一致的。

但是，匹配的过程并不是会直接成功，可能 B² 也会进入重启状态，直到最后匹配成功（具体过程看下一点。或者所有的重启状态可能永远匹配上，这种情况就代表，在模式字符串中，C字符没有最长公共前缀）。

假如重启状态 Bⁿ 匹配成功之后，按照模式的使用规则，和下一个文本字符匹配的索引就是Dfa[B][Bⁿ]，也就是 Bⁿ 的下一个，同时，这就是 C² 的索引了！

由上面的条件可知，在B处就可以计算出C的重启位置Dfa[B][ B² ]=Dfa[B][Bⁿ]= Bⁿ + 1

4. 如何通过这种方式计算重启状态呢

C的最长公共前缀里面一定包括B（包括它的的前几个（可能是一个，也可能是两三个，具体的数量不清楚，而且这不重要）模式字符）
上一个文本字符肯定是B，模式字符也是B。

设B的重启状态为 B² 。

如果 B² 匹配文本字符B成功了，说明 B² （包括 B² 的前面几个字符）等于C的最长公共前缀，那么 B² 的下一个字符就是C的重启状态。

如果 B² 匹配文本字符B失败了，那么 B² 也会进入重启状态， B² 的重启状态就是和 B² 拥有最长公共前缀的那个模式字符（在算法中，由于X始终小于j，所以当我们在计算C的重启状态时，dfa[B][ B² ]肯定已知了。这个值是多少我们在最后一点会讲），我们会用该重启状态去再次匹配文本B。

如果 B² 的重启状态 B³ 还是没有匹配上该字符，那么会去寻找 B³ 的重启状态 B⁴ 来尝试匹配，进入一个递归过程，直到终于匹配上，或者永远匹配不上。

如果最终匹配上，那么匹配上的那个重启状态 Bⁿ 的下一个字符就是C的重启状态（等于dfa[B][Bⁿ]。由于匹配成功，所以 Bⁿ 处的字符也是B，表达式dfa[B][Bⁿ]的值就是 Bⁿ 的下一个）。可能这时候最长公共前缀会变得很短，但是， Bⁿ 和它的前几个（可能是一个，也可能是两三个，具体的数量不清楚，而且这不重要）模式字符一定在C的最长公共前缀中。
如果永远匹配不上，说明在模式中，没有和C拥有最长公共前缀的字符，所以C的重启状态就是0

5. 由论述到表达式

由上述推导过程可以得到最后的重启状态表达式是dfa[B][Bⁿ]。

但是我们在算法中，计算的X = dfa[pattern[j]][X] = dfa[B][模式B的重启位置]，这二者在表达式上会相同吗？

dfa[B][B²] = dfa[B][Bⁿ]？？？

相同的！

因为 Bⁿ 也是B的重启位置之一，而且我们在算法的循环过程中使dfa[c][j] = dfa[c][X];每一个模式字符的dfa值和重启状态都是一致的。

    for (int c = 0; c < R; c++) {
        dfa[c][j] = dfa[c][X];// 把重启状态的dfa的值赋给j
    }

大家可能有一个困惑，就是 dfa[B][Bⁿ] 的值究竟是多少呢？

我们继续往下

6. 从重启状态的角度去理解dfa的本质

dfa[c][j]的概念

c是文本字符，j是模式的下标

对于每个字符c，在比较了c和pat.charAt(j)之后，dfa[c][j]表示的是应该和下个文本字符比较的模式字符的位置。

我们可以***用上面的重启状态的角度***拓展一下通过dfa[c][j]得到下一个和文本字符匹配的模式字符下标的过程

如果c和pat.charAt(j)匹配成功的话，那么无需重启，直接用下一个模式字符匹配下一个文本字符
如果匹配失败了，那么pat.charAt(j)进入重启状态，并用重启状态的字符来匹配c，成功的话用下一个模式字符匹配下一个文本字符，否则，再次进入重启状态，直到匹配成功。

但是，为什么一个简单的dfa[c][j]表达式的值会是上面这么复杂的过程的结果呢？而且为什么dfa[c][j]的值会是和下一个文本字符匹配的模式下标？

我们看一个推导过程就明白了

如果模式字符C去匹配文本字符M，那么和下一个文本字符匹配的模式的下标就是dfs[M][C]

而dfs[M][C]=dfs[M][C²]，根据值传递关系（dfa[c][j] = dfa[c][X]），dfs[M][C²]=dfs[M][C³]...

这个值传递的过程最终得到的值是多少呢？

是 dfs[M][Cⁿ] = dfs[M][M] = M+1 。

在不断的值传递过程中，终会有一个模式字符的重启状态对应的字符= M ，而这个字符的dfa值在算法中根据dfa[pattern[j]][j] = j + 1;算了出来，这个j+1很明显就是M的下一个字符，而且，就是和下一个文本字符匹配的模式下标。

这个值传递的过程就是一个不断使用重启状态的过程。

结束了，终于写完了这个推导过程。如果帮到了大家，希望在评论区给我一个鼓励！

关键代码实现如下

public KMP(char[] pattern， int R) {
    this.R = R;
    this.pattern = new char[pattern.length];
    for (int j = 0; j < pattern.length; j++) {
        this.pattern[j] = pattern[j];
    }
    int m = pattern.length;
    dfa = new int[R][m];
    // 定义一个最基础的dfa
    dfa[pattern[0]][0] = 1;
    int X = 0;// 初始化重启状态
    for (int j = 1; j < m; j++) {
        for (int c = 0; c < R; c++) {
            dfa[c][j] = dfa[c][X];// 把重启状态的dfa的值赋给j
        }
        dfa[pattern[j]][j] = j + 1;// 匹配成功，+1
        X = dfa[pattern[j]][X];// 更新重启状态
    }
}