--- theme: channing-cyan --- ## 归并排序和快速排序总结 **本文已参与 [「掘力星计划」](https://juejin.cn/post/7012210233804079141 "https://juejin.cn/post/7012210233804079141") ，赢取创作大礼包，挑战创作激励金。** ### 上节回顾 1. [堆排序和插入排序代码解读](https://juejin.cn/post/7018836879755706381) 2. [复杂度的分析和计算方法](https://juejin.cn/post/7018094312542076942) ### 基础知识回顾 1. **递归**：举个很简单的例子，你尝试着翻译一段英文，我们通常按照分句去翻译，然后我们发现这段英文有5-6个句子，一个句子中有几个不认识的单词，当你查询完单词的意思后，继续回到这个句子中进行整句的翻译，然后再将所有句子连起来，进行整段英文的翻译，这就是一个递归的过程 2. **递归需要满足的三个条件** * 一个问题的解可以分解为几个子问题的解 * 这个问题与分解之后的子问题，除了数据规模不同，求解思路完全一样 * 存在递归终止条件 ### 归并排序（Merge Sort） * #### **基本思想** 如果要排序一个数组，我们先把数组从中间分成前后两个部分，然后对前后两部分分别排序，再将排好序的两部分合并在一起，这样整个数组就是有序的数组，它使用的其实是分治思想（将一个大问题分解成小的子问题来解决），小的问题解决了，大的问题也就解决了 * #### **动图展示** ![mergeSort.gif](https://p6-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/78a8b79a92674accaddff3a94d57a2fa~tplv-k3u1fbpfcp-watermark.image?) 由上面的动图可以看出，一开始是两个元素开始比较，然后是4个，再然后是8个元素进行比较，这个方法和我们之前学习的递归有些相像，其实分治算法一般都是用递归来实现。分治是一种解决问题的处理思想，而递归是一种编程技巧 * #### **代码实现** ```javascript /** * 归并排序思想 * 递归（分治） * @param {*} arr * @returns */ const mergeSort = arr => { const len = arr.length; if (len <= 1) return arr; const middle = Math.floor(len / 2); const left = arr.slice(0, middle); const right = arr.slice(middle); return merge(mergeSort(left), mergeSort(right)); }; function merge(left, right) { let result = []; while (left.length && right.length) { if (left[0] < right[0]) { result.push(left.shift()); } else { result.push(right.shift()); } } if (left.length) { result = [...result, ...left]; } if (right.length) { result = [...result, ...right]; } return result; } ``` * **代码解读** 首先我们记录下数组的长度，然后注意到当数组长度小于2的时候并不需要进行排序，可以直接返回数组，然后就是计算出左半边元素和右半边元素，进行**merge**操作，但是我们发现在**merge**函数中，我们传入的是左半边数组和右半边数组，并且是放在**mergeSort**方法中，形成递归我们看下面这张图来辅助解释 ![mergeSort1.png](https://p9-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/3d622b5d7394468b940cf17bf10a8262~tplv-k3u1fbpfcp-watermark.image?) 不难看出，每一步的分解都是不断的将元素对半分，直至最后分解完只剩最后一个元素，也就是在分解到只剩最后一个元素的时候，才是这行代码起到的真正的作用**if (len <= 1) return arr**，所以我们可以按照这种分解的规律得到下面的推导过程第一步：merge(mergeSort([11, 8, 3, 9]), mergeSort([7, 1, 2, 5])) 第二步：merge(merge(mergeSort([11, 8]), mergeSort([3, 9])), merge(mergeSort([7, 1]), mergeSort([2, 5]))) 第三步：merge(merge(merge(merSort([11]), mergeSort([8])), merge(mergeSort([3]), mergeSort([9]))), merge(merge(merSort([7]), mergeSort([1])), merge(merSort([2]), mergeSort([5])))) 可能看起来比较视觉疲劳，但是这就是递归的精髓所在，当最内层的 mergeSort([11])里面传入的数组只有一个元素的时候，直接就可以return出去当前arr，交由次外层的`merge`方法进行排序，排序结束后又由次外层的`merge`继续对`merge`方法返回的数组进行合并排序，最终到最上层的`merge`，直接完成最后的左右两侧的合并排序完成数组元素排序那我们分析完之后，你知道`merge`方法需要实现什么功能吗？没错，两个数组的合并功能！而且是一直都是两个有序数组的合并功能，主要的思路就是依次比较两个数组的头部，小的先放入一个临时数组中，直到一个数组为空，直接将另一个数组中的元素插入临时数组的尾部，实现两个有序数组的排序 * #### **代码分析** * 空间复杂度分析我们看到，在将两个数组合并成一个数组的过程中，需要借助额外的存储空间，不难看出，我们将细化到每一个元素的时候，都需要申请一个临时数组来存放数组，比如上面一共对8个元素进行排序，一共执行`merge`方法7次，所以存储Jon关键随着数据规模的增长而增长，但是在递归的时间，还占用了O(logn)的栈空间，所以总的空间复杂度就是 O(n + logn)，因为量级的原因，所以最终的空间复杂度就是O(n) * 是否是稳定的排序算法是稳定的，主要取决于交换元素的时候是否会进行相同元素位置的互换，所以我们会看到`merge`方法，发现并不会进行元素的互换，但是我这里有个问题，因为我在处理剩余元素的时候，采用了es6的扩展运算符，这样会导致相同元素会被直接覆盖，所以如果排序期间有相同元素的情况，还是老老实实写一个while循环来处理 * 时间复杂度分析我们假设对n个数据进行归并排序的时间是T(n)，那么分解成两个子数组的时间都是T(n/2)，然后`merge`函数的时间复杂度是O(n)，所以归并排序的时间复杂度的计算就是 $$ T(1) = C(C为一个常量) \\ T(n) = 2 * T(n/2) + n; n >= 1 $$ 上面的应该很好理解，n个元素进行归并排序可以分为2个n/2的元素的数组进行排序，最后将这两个数组进行merge排序 $$ T(n) = 2 * T(n/2) + n \\ = 2 * (2 * T(n/4) + n/2) + n = 4 * T(n/4) + 2 * n \\ = 4 * (2 * T(n/8) + n/4) + 2 * n = 8 * T(n/8) + 3 * n \\ ...... \\ = 2^k * T(n/2^k) + k * n \\ ...... $$ 当T(n/2^k) = T(1)的时候，也就是k=log₂n。我们将k带入上面的式子，可以得出T(n)=Cn + nlog₂n，最后用大O表示法来表示就是O(nlogn) 所以最终时间复杂度就是O(nlogn) * ### **快速排序（Quick Sort）** * #### **基本思想** 假设需要排序的是数组下标从p到r之间的一组数据，我们选择p到r之间的任意一个数据作为pivot（分区点），我们遍历p到r之间的数据，将小于pivot的放到左边，大于pivot的放在右边，将pivot放在中间，根据递归和分治的处理思想，我们可以递归进行元素的排序，直至最后区间缩小为1，就说明所有数据都是有序的了 * #### **动图演示** ![quickSort.gif](https://p3-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/d3736e284ee94071bcb8f162ac2d3d09~tplv-k3u1fbpfcp-watermark.image?) 这里我们看到图中选取的是第一个元素作为基准元素，也就是上面所说的分区点，然后是有两个指针指向当前数组的第一个元素，一个用来遍历剩下的元素，一个用来最后将第一个元素和当前指针所指向的元素进行互换，最后一轮遍历可以保证左侧元素都是小于第一个基准元素，右侧元素都是大于基准元素，然后再用这种方法进行递归 * #### **代码实现** ```javascript function partition(arr, start, end) { // 以最后一个元素为基准 const pivotValue = arr[end]; let pivotIndex = start; for (let i = start; i < end; i++) { if (arr[i] < pivotValue) { // 交换元素 [arr[i], arr[pivotIndex]] = [arr[pivotIndex], arr[i]]; // 移动到下一个元素 pivotIndex++; } } // 把基准值放在中间 [arr[pivotIndex], arr[end]] = [arr[end], arr[pivotIndex]]; return pivotIndex; } const quickSort = (arr, start, end) => { if (end <= start) { return; } let index = partition(arr, start, end); quickSort(arr, start, index - 1); quickSort(arr, index + 1, end); return arr; }; ``` * #### **代码解读** partition就是我们所说的分区操作，主要的功能就是将当前数组按照索引进行排序，通过传入start和end参数，选用最后一个元素（通过end获取）作为基准元素，然后从start开始遍历到end元素，如果比当前基准元素小，那么就将元素和`pivotIndex`进行交换，然后`pivotIndex`需要进行加一操作，循环结束之后，将基准元素和`pivotIndex`指向的元素进行互换，返回`pivotIndex`，此时`pivotIndex`左侧都是小于基准元素的，右侧都是大于基准元素的，通过不断的分化，直至每次进行分区操作的时候只剩2个或1个元素，才是真正的排序完成举个例子 ![quickSort1.png](https://p3-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/16c2b84f049a4c24847598e2b0d980f9~tplv-k3u1fbpfcp-watermark.image?) 这里我们选取最后一个元素为基准元素，`i`和`j`都是指向的当前第一个元素，然后看配合上面的代码进行查看，因为6<8，所以需要进行交换，但是因为此时`i`和`j`都是指向的同一个元素，所以交换并无意义，所以这里只是起到了将`i`这个指针右移的目的，由于11大于8，不进行操作，然后当`j`来到3这个位置的时候，3<8，所以需要进行交换，也就是`i`和`j`当前指向的元素进行互换，然后再将`i`的指针右移一位，然后`j`右移发现9>8，不进行操作，然后当`j`来到8这个位置的时候，循环结束，将基准元素8和当前`i`指向的元素进行互换，完成一趟排序，此时基准元素左侧都是小于8的元素，基准元素右侧都是大于8的元素，这里的`i`就代表了`pivotIndex`，`j`就代表了上面循环中的`i`。然后这个时候`quickSort`函数中，`partition`函数是找了了一个基准元素，并将基准元素塞入数组中的正确位置并返回它所在的索引，然后我们需要做的就是递归遍历基准元素左右两侧的数组，所以再次调用`quickSort`方法，对基准元素左右两侧的数组进行排序，直到最后排序的`end - start <= 1`的时候，排序完成 * #### **代码分析** * 空间复杂度分析从上面的代码我们可以看出来，在运行程序期间并不需要额外的存储空间，所以空间复杂度是 O(1) * 是否是稳定的排序算法不稳定，上面举例的图中，如果我们使用的是**6，8，7，6，3，5，9，4** 这串数字，那么经过第一次分区后，两个6的相对先后顺序就是改变 * 时间复杂度分析因为也是采用的递归处理思想，所以每次分区正好能够将数组分成差不多大小的两个区间，那么快排的时间复杂度的计算和上面的归并排序其实是一样的，所以快速排序的时间复杂度也是O(nlogn) 但是我们来想这么一个情况，一个已经有序的数组，如果我们每次选择最后一个元素作为基准元素，那么每次分区得到的两个区间都是不均等的，所以我们大概需要n次分区操作，才能完成整个快排的操作，这个时候，快排的时间复杂度就从O(nlogn)退化成了O(n²)，但是平均时间复杂度还是O(nlogn) - ### 评论欢迎在评论区讨论，掘金官方将在[掘力星计划](https://juejin.cn/post/7012210233804079141 "https://juejin.cn/post/7012210233804079141")活动结束后，在评论区抽送100份掘金周边，抽奖详情见活动文章 #### **更文不易，大家动动小手点个赞，卑微小强，在线求赞~**