--- theme: orange --- # 二分查找模板总结二分查找是一种在 **有序数组** 中查找某一特定元素的搜索算法。元素集合有顺序，元素性质有分界点，二分法就可以用来求分界点，并不一定要求集合中元素是不重复的。算法思路：假设目标值在闭区间 `[left, right]` 中，每次将区间长度缩小一半，当 `left = right` 时，我们就找到了目标值。常见问题： 1. 查找区间是该选择左开右闭区间 `[left, right)` 还是左闭右闭区间 `[left, right]` 2. 循环终止条件是 `left < right` 还是 `left <= right` 3. 比较函数该怎么选择 ## 常规写法二分查找需要注意 **查找区间** 和 **终止条件**，稍不留神可能出现死循环。常见的写法如下： ```c int binarySearch(vector &nums, int target) { int left = 0, right = nums.size() - 1; // 定义 target 在左闭右闭的区间里，[left, right] while (left <= right) { // 当 left==right，区间 [left, right] 依然有效，所以用 <= int mid = left + (right - left) / 2); // 防止溢出，结果等同于(left + right)/2 if (nums[mid] > target) { right = mid - 1; // target 在左区间，所以更新为 [left, mid - 1] } else if (nums[mid] < target) { left = mid + 1; // target 在右区间，所以更新为 [mid + 1, right] } else { // nums[mid] == target return mid; // 数组中找到目标值，直接返回下标 } } // 未找到目标值 return -1; } ``` 上述写法中区间 `[left, right]` 的更新操作是 `right = mid - 1; left = mid + 1;` 边界条件需要注意：二分区间直到长度为 `1`，即 `left == right` 时，循环条件依然满足，再进行一次比较，所以用 `left <= right` 例题： [704. 二分查找](https://leetcode-cn.com/problems/binary-search/) 对上述写法稍作改造，总结二分模板共有两个： ## 模板一当区间 `[left, right]` 的更新操作是 `left = mid + 1; right = mid;` 时，二分区间计算 `mid` 不需要加 `1`。通用模板写法： ```c int binarySearch(int left, int right) { while (left < right) { int mid = (left + right) / 2; // 注意防止溢出 if (check(mid)) // 判断 mid 是否满足查找条件 left = mid + 1; // 结果落在 [mid+1, right] 区间 else right = mid; // 结果落在 [left, mid] 区间 } return left; } ``` 上述例题【[704. 二分查找](https://leetcode-cn.com/problems/binary-search/) 】套用 **模板一** 的写法： ```c int binarySearch(vector &nums, int target) { int left = 0, right = nums.size() - 1; while (left < right) { // 防止溢出，结果等同于 (left + right)/2 int mid = left + ((right - left) / 2); // 检查 mid，比较 nums[mid] 和 target if (nums[mid] < target) // 结果落在 [mid+1, right] 区间 left = mid + 1; else // 结果落在 [left, mid] 区间 right = mid; } return nums[left] == target ? left : -1; } ``` ## 模板二当区间 `[left, right]` 的更新操作是 `left = mid; right = mid - 1;` 时，计算 `mid` 需要加 `1`。通用模板写法： ```c int binarySearch(int left, int right) { while (left < right) { // 注意防止溢出 int mid = (left + right + 1) / 2; if (check(mid)) // 结果落在 [left, mid-1] right = mid - 1; else // 结果落在 [mid, right] left = mid; } return left; } ``` 上述例题【[704. 二分查找](https://leetcode-cn.com/problems/binary-search/) 】套用 **模板二** 的写法： ```c int binarySearch(vector &nums, int target) { int left = 0, right = nums.size() - 1; while (left < right) { // 防止溢出，结果等同于 (left + right + 1)/2 int mid = left + ((right - left + 1) / 2); // 检查 mid，比较 nums[mid] 和 target if (nums[mid] > target) // target 落在 [left, mid-1] right = mid - 1; else // target 落在 [mid, right] left = mid; } return nums[left] == target ? left : -1; } ``` ## 求同存异使用这两个模板的**优势**： 1. 不用考虑循环结束时返回 `left` 还是 `right`，因为最后退出时 `left == right` 2. 不用考虑循环条件是用 `< ` 还是 `<=`，直接都用 `<` 3. 非常适用于求一些分界点的问题 ### 共同点这两个模板写法的 **共同点**： 1. 查找区间都是 **左闭右闭** 区间：`[left, right]` 2. 循环判断条件都是用 `left < right` 3. 循环退出条件都是 `left == right`。查找过程一定会在 $O(logn)$ 的时间内终止，即使中间遇到 `nums[mid] == target` 也不会结束，而是继续收缩区间，直到区间长度为 `1`。 4. 在循环终止（查找结束）之后，判断一下 `left` 或者 `right` 是否符合要求即可，如果不符合要求，说明答案不存在 ### 不同点共同点比较好理解，但更值得注意的是，**这两个模板写法的不同点**： 1. 更新 `mid` 的计算方式不同 2. `check(mid)` 不同，所以更新 `left` 和 `right` 也会有一些差别 ### Q & A #### 1. 为什么模板二计算 mid 会加 1 原因：**避免进入死循环**。首先，可以明确的是，两个模板在查找过程中都是区间长度不断减半，直到区间长度为 `1`，即 `left == right` 时退出循环，然后在循环外面检查最后的查找结果 `nums[left]` 是否为 `target`。如果 **模板二** 更新 `mid` 采用 `mid = (left + right)/2`，在**最后一次查找时会陷入死循环**。例如，对于 `nums = [3,4]`，`target ` 为 `4`： - 第一次查找，`left = 0，right = 1，mid = 0`，比较得到 `nums[mid] < target`，更新 `left = mid` - 第二次查找，还是进入相同的条件分支，**陷入死循环**。而更新 `mid` 采用 `mid = (left + right + 1) / 2` 时： - 第一次检查 `left = 0, right = 1, mid = 1`，更新 `left = mid`，**退出循环** 也可以通过边界条件来理解，这两个模板最后都是要收缩到区间 `[left, left+1]` 里进行最后一次 `check`： - 对于模板一，计算得到 `mid = left`，区间往左收缩是进入 `right = mid` ，区间往右收缩是进入 `left = mid + 1`，结束循环，所以更新 `mid` 要用 `mid = (left + right)/2`， - 对于模板二，计算得到 `mid = right`，区间往左收缩是进入`right = mid - 1` ，区间往右收缩是进入 `left = mid`，结束循环，所以更新 `mid` 要用 `mid = (left + right + 1)/2` #### 2. 如何选择使用模板一般写二分的思考顺序是这样的：通过题目背景 **确定 `check(mid)` 的逻辑，判断答案落在左半区间还是右半区间**： - `target` 属于右半区间，则右半区间是 `[mid+1, right]`，左半区间是 `[left, mid]`，区间更新方式是 ` left = mid + 1; right = mid;`，此时用第一个模板； - `target` 属于左半区间，则左半区间是 `[left, mid-1]`，右半区间是 `[mid, right]`，区间更新方式是 `right = mid - 1; left = mid;`，此时用第二个模板；这种区间划分方式将 `check(mid) == targrt` 分支的逻辑合并到 `check(mid) > targrt` 或 `check(mid) < targrt` 分支，不断将区间长度减半，具有更好的适用性，尤其适用于求一些分界点的问题。例题： - [34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置](https://leetcode-cn.com/problems/find-first-and-last-position-of-element-in-sorted-array/) - [69. x 的平方根 ](https://leetcode-cn.com/problems/sqrtx/) 解释： 1. 查找元素 `target` 的第一个位置，相当于查找 `大于等于 target` 的第一个元素位置： - 如果 `nums[mid] < target`，此时 `target` 应该落在 **右半区间** `[mid+1, right]`； - 如果 `nums[mid] >= target`，此时 `target` 应该落在 **左半区间** `[left, mid]`，因为 `mid` 可能就是 `target`，所以还需要进一步比较；因而选择 `check(mid)`为 `nums[mid] < target`，区间更新条件分别是 `left = mid + 1; right = mid;` ```cpp int searchFirst(vector &nums, int target) { int left = 0, right = nums.size() - 1; while (left < right) { int mid = (left + right) >> 1; if (nums[mid] < target) left = mid + 1; else right = mid; } return nums[left] == target ? left : -1; } ``` 2. 查找元素 `target` 的最后一个位置，相当于查找 `小于等于 target` 的最后一个元素位置： - 如果 `nums[mid] > target`，此时 `target` 应该落在 **左半区间** `[left, mid-1]`； - 如果 `nums[mid] <= target`，此时 `target` 应该落在 **右半区间** `[mid, right]`，因为 `mid` 可能就是 `target`，所以还需要进一步比较因而选择 `check(mid)` 为 `nums[mid] > target`，区间更新条件分别是 `right = mid-1; left = mid;` ```cpp int searchLast(vector &nums, int target) { int left = 0, right = nums.size() - 1; while (left < right) { int mid = (left + right + 1) / 2; if (nums[mid] <= target) left = mid; else right = mid - 1; } return nums[left] == target ? left : -1; } ``` 3. 计算 `x` 的算术平方根，结果只保留整数部分：由于 `x` 平方根的整数部分是满足 `k*k <= x` 的 `最大 k 值` - 如果 `mid * mid > x`，那么结果应该落在 **左半区间** `[left, mid-1]` - 如果 `mid * mid <= x`，那么结果应该落在 **右半区间** `[mid, right]` 因而选择 `check(mid)` 为 `mid*mid > x`，区间更新条件分别是 `right = mid-1; left = mid;` ```cpp int mySqrt(int x) { int left = 0, right = x; while (left < right) { // 防止值溢出 int mid = (right + left + 1LL) / 2; if (mid > x / mid) // 结果在左半区间 [left, mid-1] right = mid - 1; else // 结果在右半区间 [mid, right] left = mid; } return left; } ``` ## 解决问题 | 题目 | 题解 | 难度 | | :----------------------------------------------------------- | :----------------------------------------------------------: | :--: | | [4.寻找两个正序数组的中位数](https://leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/) | [LeetCode 题解](https://leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/solution/xiang-xi-tong-su-de-si-lu-fen-xi-duo-jie-fa-by-w-2/) | 困难 | | [33. 搜索旋转排序数组](https://leetcode-cn.com/problems/search-in-rotated-sorted-array/) | [LeetCode 题解](https://leetcode-cn.com/problems/search-in-rotated-sorted-array/solution/by-ellisonzhao-iwux/) | 中等 | | [34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置](https://leetcode-cn.com/problems/find-first-and-last-position-of-element-in-sorted-array/) | [LeetCode 题解](https://leetcode-cn.com/problems/find-first-and-last-position-of-element-in-sorted-array/solution/by-ellisonzhao-h2ee/) | 中等 | | [35. 搜索插入位置](https://leetcode-cn.com/problems/search-insert-position/) | [LeetCode 题解](https://leetcode-cn.com/problems/search-insert-position/solution/35-sou-suo-cha-ru-wei-zhi-by-ellisonzhao-qa8m/) | 简单 | | [69. x 的平方根 ](https://leetcode-cn.com/problems/sqrtx/) | [LeetCode 题解](https://leetcode-cn.com/problems/sqrtx/solution/by-ellisonzhao-9pk9/) | 简单 | | [74. 搜索二维矩阵](https://leetcode-cn.com/problems/search-a-2d-matrix/) | [LeetCode 题解](https://leetcode-cn.com/problems/search-a-2d-matrix/solution/by-ellisonzhao-t1sj/) | 中等 | | [81. 搜索旋转排序数组 II](https://leetcode-cn.com/problems/search-in-rotated-sorted-array-ii/) | [LeetCode 题解](https://leetcode-cn.com/problems/search-in-rotated-sorted-array-ii/solution/by-ellisonzhao-0fmi/) | 中等 | | [153. 寻找旋转排序数组中的最小值](https://leetcode-cn.com/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array/) | [LeetCode 题解](https://leetcode-cn.com/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array/solution/by-ellisonzhao-l0ze/) | 中等 | | [154. 寻找旋转排序数组中的最小值 II](https://leetcode-cn.com/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array-ii/) | [LeetCode 题解](https://leetcode-cn.com/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array-ii/solution/by-ellisonzhao-tkes/) | 困难 | | [162. 寻找峰值](https://leetcode-cn.com/problems/find-peak-element/) | [LeetCode 题解](https://leetcode-cn.com/problems/find-peak-element/solution/gong-shui-san-xie-noxiang-xin-ke-xue-xi-qva7v/) | 中等 | | [240. 搜索二维矩阵 II](https://leetcode-cn.com/problems/search-a-2d-matrix-ii/) | [LeetCode 题解](https://leetcode-cn.com/problems/search-a-2d-matrix-ii/solution/by-ellisonzhao-20us/) | 中等 | | [367. 有效的完全平方数](https://leetcode-cn.com/problems/valid-perfect-square/) | [LeetCode 题解](https://leetcode-cn.com/problems/valid-perfect-square/solution/by-ellisonzhao-nhfs/) | 简单 |