递归

递归的定义：一个函数function直接或者间接调用自身，则该函数称为递归函数。递归函数有两个重要的概念：

递推关系：一个问题的结果与其子问题的结果之间的关系。
基本条件：跳出递归调用的条件。

当我们找到这两个要点时，就可以实现一个递归函数了，只需用递推关系调用函数，直到基本条件跳出递归。

注意：如果递推关系和基本条件不正确，递归很容易进入死循环。

递推关系

推导出递推关系，那么递归函数就成功了80%。下面用一个累加的简单例子做说明：

1+2+3+4+...+n

可以很容易的看出，第n个的总值 = 第n-1的总值 + n的值。所以递推关系就是f(n)=f(n-1)+n。f(n) 每次执行时依赖 f(n−1) 的结果，所以我们把 f(n−1) 的结果看作是中间变量。

递归分类

递归可以分为两种形式：由下到上和由上到下。

由下到上

在每个递归层次上，我们首先递归地调用自身，然后根据返回值进行计算。（依赖返回值）

流程如下：

寻找递归基本情况
寻找递归递推关系
修改递归函数的参数
递归调用并返回中间变量
使用递归函数的返回值与当前参数进行计算，并返回最终结果

还是拿上面的累加的例子作说明：

function sum(n){
    if(n==1) return n;
    let prev = sum(n-1);
    return prev+n;
}

由上到下

如果我们把上面第四步返回的中间变量抽取出来，并在递归调用函数时当成参数传给自身，这就是由上到下的递归。

流程如下：

寻找递归基本情况
寻找递归递推关系
把中间变量改成函数参数
根据函数参数与中间变量重新计算出新的中间变量
修改参数
递归调用并返回

function sum(n,total){
    if(n==1) return n;
    total += n;
    return sum(n-1,total);
}

区别：两者的主要区别在于于对中间变量的处理，参与计算的中间变量是参数提供的还是返回值提供的。

尾递归

如果一个递归函数在最后return时调用自身，也可以称为尾递归。例如上面例子中的由上到下递归也可以看成是尾递归。尾递归有什么好处的，我们知道递归虽然方便，但是如果复杂一点都会导致爆栈(由于递归过程中产生的中间变量被占用，无法释放)。但是尾递归就不一样了，它不会占用中间变量(通过传参的方式),所以不需要层层增加调用栈再在最后层层回收，当前的调用帧可以直接丢弃了。

回溯

定义：回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。(百度百科)

回溯算法需要了解下面3个概念：

路径：也就是已经做出的选择
选择列表：也就是你当前可以做的选择
结束条件：也就是到达决策树底层，无法再做选择的条件

伪代码如下：

let rs = []; 
function backtrack(路径，选择列表){
    if(满足结束条件) return rs.push(路径);
    
    for(选择 in 选择列表){
        做选择
        backtrack(路径，选择列表);
        撤销选择
    }
}

核心代码是在循环选择列表里面，在递归前先做出‘选择’，然后在递归后‘撤销选择’。

下面以全排列作为例子。如何用回溯拿到所有的排列组合呢，看下面的图理解上面说说的3个概念。

由上图可知：从1->2的过程就是已经选择的路径; 以节点1()为例,它的当前可选择列表就是它的子节点(2,3),那结束条件就是到达树的底层了。好，既然这3个关键点都找出了了，就可以按照伪代码中的套路写回溯算法了。代码如下：


const Backtrack = (input)=>{
    const backtrack = (input,temp)=>{
        if(temp.length === input.length) 
            return rs.push(temp.slice());
            // 这里要用slice返回一个新的数组，道理相信大家都明白
        for(let i=0;i<input.length;i++){
            if(temp.includes(input[i])) continue;
            temp.push(input[i]); // 做出选择
            backtrack(input,temp);// 调用递归
            temp.pop();// 撤销选择
        }
    }
}

详细的步骤可以看下面的流程图：

其实回溯算法就是纯暴力穷举,无论怎么优化，复杂度还是很高，因为它无法避免穷举整棵决策树。

参考文献