本文简要介绍图的 2 种实现及其 BFS 遍历。参考：golang-data-structure-graph

前言

新坑

最近在校事情不多，趁着还记得就开了个新坑 algorithms，把常用数据结构和算法总结了一下。每个算法都有 README.md 介绍算法的运行流程、GIF 演示、复杂度分析及适用场景；每种数据结构会介绍基本概念、操作和应用场景。

参考书籍

《数据结构与算法分析：C 语言描述》

《算法与数据结构题目最优解》

图

图这种数据结构是网状结构的抽象，现实生活中有很多例子，比如航班路线网络、社交网络等。关于图的节点、边、权值、有向无向和强弱连通性等基础概念可参考第一本书第八章。

对于上方的无向图，有两种常见的表示方法：

邻接矩阵

对于节点 u 指向节点 v 的边 (u, v)，可以表示为 A[u][v] = 1，不直接连接则为0。上图对应的邻接矩阵如下：

上图的矩阵完整描述了图的连接情况。由于是无向图，邻接矩阵相对主对角线是 对称的： A[u, v] = 1 意味着 A[v, u] = 1，对应到代码实现，是一个二维数组或 map 结构。

邻接表

对于每个节点，将与之直接连接的节点存储在表结构中，上图对应的邻接表如下：

上图中的箭头可表示有向图，在实现上可使用 slice 或链表存储连接节点。

选择存储结构

根据图的 稠密程度 选择存储结构，假设图有 N 个节点 E 条边，若：

`E << N^2` 则为交叉少的稀疏图

使用邻接表存储只连接的节点，节省存储空间；使用邻接矩阵将要存储大量的 0 值，浪费空间。

`E ≈ N^2` 则为交叉多的稠密图

使用邻接矩阵将十分方便的查询连通性，较少的浪费存储空间。邻接表将查找麻烦。

图的实现

图有 2 个基本操作：AddNode() 添加节点、 AddEdge() 连接节点形成边。

基本定义

type Node struct {
	value int
}

type Graph struct {
	nodes []*Node          // 节点集
	edges map[Node][]*Node // 邻接表表示的无向图
	lock  sync.RWMutex     // 保证线程安全
}

操作实现

// 增加节点
func (g *Graph) AddNode(n *Node) {
	g.lock.Lock()
	defer g.lock.Unlock()
	g.nodes = append(g.nodes, n)
}

// 增加边
func (g *Graph) AddEdge(u, v *Node) {
	g.lock.Lock()
	defer g.lock.Unlock()
	// 首次建立图
	if g.edges == nil {
		g.edges = make(map[Node][]*Node)
	}
	g.edges[*u] = append(g.edges[*u], v) // 建立 u->v 的边
	g.edges[*v] = append(g.edges[*v], u) // 由于是无向图，同时存在 v->u 的边
}

// 输出图
func (g *Graph) String() {
	g.lock.RLock()
	defer g.lock.RUnlock()
	str := ""
	for _, iNode := range g.nodes {
		str += iNode.String() + " -> "
		nexts := g.edges[*iNode]
		for _, next := range nexts {
			str += next.String() + " "
		}
		str += "\n"
	}
	fmt.Println(str)
}

// 输出节点
func (n *Node) String() string {
	return fmt.Sprintf("%v", n.value)
}

测试

package graph

import "testing"

func TestAdd(t *testing.T) {

	g := Graph{}
	n1, n2, n3, n4, n5 := Node{1}, Node{2}, Node{3}, Node{4}, Node{5}

	g.AddNode(&n1)
	g.AddNode(&n2)
	g.AddNode(&n3)
	g.AddNode(&n4)
	g.AddNode(&n5)

	g.AddEdge(&n1, &n2)
	g.AddEdge(&n1, &n5)
	g.AddEdge(&n2, &n3)
	g.AddEdge(&n2, &n4)
	g.AddEdge(&n2, &n5)
	g.AddEdge(&n3, &n4)
	g.AddEdge(&n4, &n5)

	g.String()
}

测试成功：使用邻接表表示上边的无向图

BFS：广度优先搜索

BFS（Breadth First Search）：广度优先搜索，广度指的是从一个节点开始 发散性地遍历 周围节点。从某个节点出发，访问它的所有邻接节点，再从这些节点出发，访问它们未被访问过得邻接节点…直到所有节点访问完毕。

有点类似树的层序遍历，但图存在成环的情形，访问过的节点可能会再次访问，所以需要用一个辅助队列来存放待访问的邻接节点。

遍历过程

选一节点入队列
节点出队列
1. 若队列为空，则说明遍历完毕，直接返回
2. 将节点的 所有未访问邻接节点 入队列
执行回调（可以是用于搜索的等值比较）
重复步骤 2

代码实现

package graph

import "sync"

type NodeQueue struct {
	nodes []Node
	lock  sync.RWMutex
}

// 实现 BFS 遍历
func (g *Graph) BFS(f func(node *Node)) {
	g.lock.RLock()
	defer g.lock.RUnlock()

	// 初始化队列
	q := NewNodeQueue()
	// 取图的第一个节点入队列
	head := g.nodes[0]
	q.Enqueue(*head)
	// 标识节点是否已经被访问过
	visited := make(map[*Node]bool)
	visited[head] = true
	// 遍历所有节点直到队列为空
	for {
		if q.IsEmpty() {
			break
		}
		node := q.Dequeue()
		visited[node] = true
		nexts := g.edges[*node]
		// 将所有未访问过的邻接节点入队列
		for _, next := range nexts {
			// 如果节点已被访问过
			if visited[next] {
				continue
			}
			q.Enqueue(*next)
			visited[next] = true
		}
		// 对每个正在遍历的节点执行回调
		if f != nil {
			f(node)
		}
	}
}

// 生成节点队列
func NewNodeQueue() *NodeQueue {
	q := NodeQueue{}
	q.lock.Lock()
	defer q.lock.Unlock()
	q.nodes = []Node{}
	return &q
}

// 入队列
func (q *NodeQueue) Enqueue(n Node) {
	q.lock.Lock()
	defer q.lock.Unlock()
	q.nodes = append(q.nodes, n)
}

// 出队列
func (q *NodeQueue) Dequeue() *Node {
	q.lock.Lock()
	defer q.lock.Unlock()
	node := q.nodes[0]
	q.nodes = q.nodes[1:]
	return &node
}

// 判空
func (q *NodeQueue) IsEmpty() bool {
	q.lock.RLock()
	defer q.lock.RUnlock()
	return len(q.nodes) == 0
}

测试

func TestBFS(t *testing.T)  {
	g.BFS(func(node *Node) {
		fmt.Printf("[Current Traverse Node]: %v\n", node)
	})
}

测试成功：

先访问节点 1，再访问邻接 1 的 2 和 5，此时 1、2、5 均标记为已访问过
再遍历节点 2 未被访问过的邻接节点：3、4
此时所有节点都已被访问过，队列为空。遍历结束

复杂度分析

时间复杂度

对于 N 个节点，E 条边的图，节点和每条边都会被遍历到一次。时间复杂度为 O(N + E)

空间复杂度

对于发散图，辅助队列最多会存放 N 个节点。空间复杂度为 O(N)

总结

其实对于图的遍历有 2 种：BFS 和 DFS，前者使用辅助队列暂存节点，后者使用栈递归调用。二者各有优劣，比如 BFS 能控制队列长度，不像 DFS 那样不易控制栈的大小，DFS 适用于图和树的先序遍历，将放到树的章节学习。