## 写在前面在学习数据结构和算法的时候，经常会碰到O(1),O(n)等等用来表示时间和空间复杂度，那这到底是什么意思。我们对于同一个问题经常有不同的解决方式，比如排序算法就有十种经典排序（快排，归并排序等），虽然对于排序的结果相同，但是在排序过程中消耗时间和资源却是不同。对于不同排序算法之间的衡量方式就是通过程序执行所占用的**时间**和**空间**两个维度去考量。 ## 高中数学 ### 函数设*A*、*B*是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系*f*，使对于集合*A*中的任意一个数*x*，在集合*B*中都有唯一确定的数*f*(*x*)和它对应，那么就称*f*：*A*→*B*为从集合*A*到集合*B*的一个函数。记作：*y*=*f*(*x*)，*x*∈*A*。其中，*x*叫做自变量，*x*的取值范围*A*叫做函数的定义域；与*x*的值相对应的*y*值叫做函数值，函数值的集合{*f*(*x*)| *x*∈*A* }叫做函数的值域。例：已知*f*(*x*)的定义域为[3,5],求*f(2x-1)*的定义域。 ![image-20210712224936223](https://p3-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/7cbeb49fcce24563a652cc916e631f88~tplv-k3u1fbpfcp-zoom-1.image) ### 幂函数 $$ y=x^k $$ ### 指数函数 $$ 函数y=a^x (a>0且a\neq1)叫做指数函数，自变量叫做指数，a叫做底数。 $$ ![image-20210712231115266](https://p3-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/45a1cebfd0974831b76b4cdf9aff3312~tplv-k3u1fbpfcp-zoom-1.image) ### 对数函数 $$ 如果a(a>0,a\neq1)的b次幂等于N,即a^b=N,那么b叫做以a为底N的对数，记作log_aN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数 $$ ![image-20210712231247169](https://p3-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/b4d821086c204ff8aaa05ef247584e11~tplv-k3u1fbpfcp-zoom-1.image) ## 时间复杂度若存在函数 f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/ f(n)）的极限值为不等于零的常数，则称 f(n)是T(n)的同数量级函数。记作 T(n)= O(f(n))，称O(f(n))为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。 **简单理解就是一个算法或是一个程序在运行时，所消耗的时间（或者代码被执行的总次数）。** 在下面的程序中： ```java int sum(int n) { ① int value = 0; ② int i = 1; ③ while (i <= n) { ④ value = value + i; ⑤ i++; } ⑥ return value; } 假设n=100，该方法的执行次数为①(1次)、②（1次）、③（100次）、④（100次）、⑤（100次）、⑥（1次）合计1+1+100+100+100+1 = 303次 ``` 上面的结果如果用函数来表示为：*f(n)* = 3n+3，那么在计算机算法中的表示方法如下。 ### 表示方法大O表示法：算法的时间复杂度通常用大O来表示，定义为**T(n) = O(f(n))**，其中T表示时间。即：T(n) = O(3n+3) 这里有个重要的点就是时间复杂度关心的是**数量级**，其原则是： 1. 省略常数，如果运行时间是常数量级，用常数1表示 2. 保留最高阶的项 3. 变最高阶项的系数为1 如 2n ³ + 3n² + 7，省略常数变为 O(2n ³ + 3n²)，保留最高阶的项为 O(2n ³ )，变最高阶项的系数为1后变为O(n ³ )，即O(n ³ )为 2n ³ + 3n² + 7的时间复杂度。同理，在上面的程序中 T(n) = O(3n+3)，其时间复杂度为O(n)。注：只看最高复杂度的运算，也就是上面程序中的内层循环。 ### 时间复杂度的阶时间复杂度的阶主要分为以下几种 #### 常数阶O(1) ``` int n = 100; System.out.println("常数阶：" + n); ``` 不管n等于多少，程序始终只会执行一次，即 T(n) = O(1) ![image-20210713004054384](https://p3-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/7cec4735e5ea488199d5b292aa55002f~tplv-k3u1fbpfcp-zoom-1.image) #### 对数阶O(logⁿ) ``` // n = 32 则 i=1,2,4,8,16,32 for (int i = 1; i <= n; i = i * 2) { System.out.println("对数阶：" + n); } ``` i 的值随着 n 成对数增长，读作2为底n的对数，即*f*(*x*) = log₂ⁿ，T(n) = O( log₂ⁿ)，简写为O(logⁿ) 则对数底数大于1的象限通用表示为： ![image-20210713120354751](https://p3-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/cefcc762f5ba416a94acddd8ae49e0eb~tplv-k3u1fbpfcp-zoom-1.image) #### 线性阶O(n) ``` for (int i = 1; i < n; i++) { System.out.println("线性阶：" + n); } ``` n的值为多少，程序就运行多少次，类似函数 y = f(x)，即 T(n) = O(n) ![image-20210713121441117](https://p3-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/9d24da27952a47478daafdbbcf0f3453~tplv-k3u1fbpfcp-zoom-1.image) #### 线性对数阶O(nlogⁿ) ``` for (int m = 1; m <= n; m++) { int i = 1; while (i < n) { i = i * 2; System.out.println("线性对数阶：" + i); } } ``` 线性对数阶O(nlogⁿ)其实非常容易理解，将对数阶O(logⁿ)的代码循环n遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logⁿ)，也就是了O(nlogⁿ)，归并排序的复杂度就是O(nlogⁿ)。若n = 2 则程序执行2次，若n=4,则程序执行8次，依次类推 ![image-20210713152935478](https://p3-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/6ed122beec0c46d4ad61223aca3eb354~tplv-k3u1fbpfcp-zoom-1.image) #### 平方阶O(n²) ``` for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= n; j++) { System.out.println("平方阶：" + n); } } ``` 若 n = 2，则打印4次，若 n = 3，则打印9，即T(n) = O(n²) ![image-20210713145035411](https://p3-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/a44d85e02c154d06b7362e51951409c4~tplv-k3u1fbpfcp-zoom-1.image) 同理，立方阶就为O(n³)，如果3改为k，那就是k次方阶O(n^k)，相对而言就更复杂了。以上5种时间复杂度关系为： ![image-20210713152953541](https://p3-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/b37d26bc9f0c490e9e0ee805029a80cd~tplv-k3u1fbpfcp-zoom-1.image) 从上图可以得出结论，当x轴n的值越来越大时，y轴耗时的时长为： O(1) < O(logⁿ) < O(n) < O(nlogⁿ) < O(n²) 在编程算法中远远不止上面4种，比如O(n³)，O(2ⁿ)，O(n!)，O(n^k)等等。这些是怎么在数学的角度去证明的，感兴趣的可以去看看[主定理](http://zh.m.wiki.sxisa.org/wiki/%E4%B8%BB%E5%AE%9A%E7%90%86)。注：以下数据来自于[Big-O Cheat Sheet](https://www.bigocheatsheet.com/)，常用的**大O标记法**列表以及它们与不同大小输入数据的性能比较。 | 大O标记法 | 计算10个元素 | 计算100个元素 | 计算1000个元素 | | ----------------------- | ------------ | ------------- | -------------- | | **O(1)** | 1 | 1 | 1 | | **O(log^N)** | 3 | 6 | 9 | | **O(N)** | 10 | 100 | 1000 | | **O(Nlog^N)** | 30 | 600 | 9000 | | **O(N²)** | 100 | 10000 | 1000000 | | **O(2^N)** | 1024 | 1.26e+29 | 1.07e+301 | | **O(N!)** | 3628800 | 9.3e+157 | 4.02e+2567 | ### 常见数据结构操作的复杂度 | 数据结构 | 连接 | 查找 | 插入 | 删除 | | -------------- | :----: | :----: | :----: | :----: | | **数组** | 1 | n | n | n | | **栈** | n | n | 1 | 1 | | **队列** | n | n | 1 | 1 | | **链表** | n | n | 1 | 1 | | **哈希表** | - | n | n | n | | **二分查找树** | n | n | n | n | | **B树** | log(n) | log(n) | log(n) | log(n) | | **红黑树** | log(n) | log(n) | log(n) | log(n) | | **AVL树** | log(n) | log(n) | log(n) | log(n) | ### 数组排序算法的复杂度 | 名称 | 最优 | 平均 | 最坏 | 内存 | 稳定 | | ------------ | :-----------: | :------------: | :--------------------: | :----: | :--: | | **冒泡排序** | n | n² | n² | 1 | 是 | | **插入排序** | n | n² | n² | 1 | 是 | | **选择排序** | n² | n² | n² | 1 | 否 | | **堆排序** | n log(n) | n log(n) | n log(n) | 1 | 否 | | **归并排序** | n log(n) | n log(n) | n log(n) | n | 是 | | **快速排序** | n log(n) | n log(n) | n² | log(n) | 否 | | **希尔排序** | n log(n) | 取决于差距序列 | n (log(n))² | 1 | 否 | ## 空间复杂度 **空间复杂度表示的是算法的存储空间和数据之间的关系，即一个算法在运行时，所消耗的空间。** ### 空间复杂度的阶空间复杂度相对于时间复杂度要简单很多，我们只需要掌握常见的O(1)，O(n)，O(n²)。 #### 常数阶O(1) ``` int i; ``` #### 线性阶O(n) ``` int[] arr; ``` #### 平方阶O(n²) ``` int[][] arr; ``` ## 总结写这篇文章的目的在于，我在更新[栈和队列](https://juejin.cn/post/6983959426243756039)的时候，留下了一个问题**栈的入栈和出栈操作与队列的插入和移除的时间复杂度是否相同**，确实是相同的，都用了O(1)。由此我想到，对于刚开始或者说是不太了解复杂度的同学，碰到此类的问题，或者是我在跟后续数据结构和算法文章的时候不懂，十分的不友好，于是就写了一篇关于复杂度的文章。本文只对时间复杂度和空间复杂度做了简单介绍，有错误可以指正，不要硬杠，杠就是我输。 ![image.png](https://p3-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/8ae7abc72a5348bcb71e3d7a2368baaa~tplv-k3u1fbpfcp-watermark.image) ## 参考 - [一套图搞懂时间复杂度](https://blog.csdn.net/qq_41523096/article/details/82142747) - [算法的时间复杂度和空间复杂度](https://www.bilibili.com/video/BV1Cv41147sJ?t=49) **都是自己人，点赞关注我就收下了🤞**