堆(heap)又被为优先队列(priority queue)。尽管名为优先队列，但堆并不是队列。

因为队列中允许的操作是先进先出（FIFO），在队尾插入元素，在队头取出元素。

而堆虽然在堆底插入元素，在堆顶取出元素，但是堆中元素的排列不是按照到来的先后顺序，而是按照一定的优先顺序排列的。

本文通过堆的实现、最小堆（最大堆）、堆的时间复杂度、优先队列的实现、堆排序来介绍「堆」。

堆的实现

堆的一个经典的实现是完全二叉树(complete binary tree)，这样实现的堆称为二叉堆(binary heap)。

这里来说明一下满二叉树的概念与完全二叉树的概念。

满二叉树：除了叶子节点，所有的节点的左右孩子都不为空，就是一棵满二叉树，如下图。

可以看出：满二叉树所有的节点都拥有左孩子，又拥有右孩子。

完全二叉树：不一定是一个满二叉树，但它不满的那部分一定在右下侧，如下图

堆的特性：

必须是完全二叉树
任一结点的值是其子树所有结点的最大值或最小值

最大值时，称为“最大堆”，也称大顶堆；

最小值时，称为“最小堆”，也称小顶堆。

堆的基础实现

只要谨记堆的定义特性，实现起来其实是很容易的。

特性1. 维持完全二叉树
特性2. 子类数字总是大于父类数字

public class MinHeap <E extends Comparable<E>> {
    private Array<E> data;

    public MinHeap(int capacity){
        data = new Array<>(capacity);
    }

    public MinHeap(){
        data = new Array<>();
    }

    // 返回堆中的元素个数
    public int size(){
        return data.getSize();
    }

    // 返回一个布尔值, 表示堆中是否为空
    public boolean isEmpty(){
        return data.isEmpty();
    }

    // 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的父亲节点的索引
    private int parent(int index){
        return (index - 1) / 2;
    }

    // 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的左孩子节点的索引
    private int leftChild(int index){
        return index * 2 + 1;
    }

    // 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的右孩子节点的索引
    private int rightChild(int index){
        return index * 2 + 2;
    }
}

最小堆的插入（ADD）

假设现有元素 5 需要插入，为了维持完全二叉树的特性，新插入的元素一定是放在结点 6 的右子树；同时为了满足任一结点的值要小于左右子树的值这一特性，新插入的元素要和其父结点作比较，如果比父结点小，就要把父结点拉下来顶替当前结点的位置，自己则依次不断向上寻找，找到比自己大的父结点就拉下来，直到没有符合条件的值为止。

动画讲解：

在这里先将元素 5 插入到末尾，即放在结点 6 的右子树。

然后与父类比较， 6 > 5 ，父类数字大于子类数字，子类与父类交换。

重复此操作，直到不发生替换。

Show me the code：

添加一个辅助函数，用来交换传入的索引两个位置的元素值

/**
     * 交换传入的索引两个位置的元素值
     *
     * @param i
     * @param j
     */
    public void swap(int i, int j) {
        if (i < 0 || i >= size || j < 0 || j >= size)
            throw new IllegalArgumentException("Index is illegal.");

        E temp = data[i];
        data[i] = data[j];
        data[j] = temp;
    }

数组中添加交换两元素位置的方法，注意下面代码中注释的描述特性位置。

    /**
     * 堆中添加元素方法。
     *
     * @param e
     */
    public void add(E e) {
        //特性1：新插入的元素首先放在数组最后，保持完全二叉树的特性
        data.addLast(e);
        siftUp(data.getSize() - 1);
    }

    /**
     * index 为i位置元素上浮。
     *
     * @param i
     */
    private void siftUp(int i) {
         //特性2：比较插入值和其父结点的大小关系，小于父结点则用父结点替换当前值，index位置上升为父结点
        // 当上浮元素大于父亲，继续上浮。并且不能上浮到0之上
        // 直到i 等于 0 或 比 父亲节点小了。
        while (i > 0 && data.get(i).compareTo(data.get(parent(i))) > 0) {
            // 数组Array中添加方法swap
            data.swap(i, parent(i));
            i = parent(i); // 这句话让i来到新的位置，使得循环可以查看新的位置是否还要大。
        }
    }

最小堆的删除（DELETE）

核心点：将最后一个元素填充到堆顶，然后不断的下沉这个元素。

假设要从节点 1 ，也可以称为取出节点 1 ，为了维持完全二叉树的特性，我们将最后一个元素 6 去替代这个 1 ；然后比较 1 和其子树的大小关系，如果比左右子树大（如果存在的话），就要从左右子树中找一个较小的值替换它，而它能自己就要跑到对应子树的位置，再次循环这种操作，直到没有子树比它小。

通过这样的操作，堆依然是堆，总结一下：

找到要删除的节点（取出的节点）在数组中的位置
用数组中最后一个元素替代这个位置的元素
当前位置和其左右子树比较，保证符合最小堆的节点间规则
删除最后一个元素

Show me the code：

    public E findMin() {
        return data.get(0);
    }

    public E extractMin() {

        E ret = findMin();

        data.swap(0, data.getSize() - 1); // 0位置元素和最后一个元素互换。
        data.removeLast(); // 删除此时的最后一个元素(最小值)
        siftDown(0); // 对于0处进行siftDown操作

        return ret;
    }

    /**
     * k位置元素下移
     *
     * @param k
     */
    private void siftDown(int k) {

         while(leftChild(k) < data.getSize()){
            int j = leftChild(k); // 在此轮循环中,data[k]和data[j]交换位置
            if( j + 1 < data.getSize() &&
                    data.get(j + 1).compareTo(data.get(j)) < 0 )
                j ++;
            // data[j] 是 leftChild 和 rightChild 中的最小值

            if(data.get(k).compareTo(data.get(j)) >= 0 )
                break;

            data.swap(k, j);
            k = j;
        }
    }

时间复杂度

对于有 n 个节点的堆来说，其高度 d = log2n + 1。根为第 0 层，则第 i 层结点个数为 2i，考虑一个元素在堆中向下移动的距离。

大约一半的结点深度为 d-1 ，不移动(叶)。
四分之一的结点深度为 d-2 ，而它们至多能向下移动一层。
树中每向上一层，结点的数目为前一层的一半，而子树高度加一

堆有logn层深，所以插入删除的平均时间和最差时间都是O(logN)

优先队列（priority_queue）

普通队列是一种先进先出的数据结构，先放进队列的元素取值时优先被取出来。而优先队列是一种具有最高优先级元素先出的数据结构，比如每次取值都取最大的元素。

优先队列支持下面的操作：

a. 找出优先级最高的元素(最大或最小元素)；
b. 删除一个具有最高优先级的元素；
c. 添加一个元素到集合中。

代码实现

public class PriorityQueue<E extends Comparable<E>> implements Queue<E> {

    private MaxHeap<E> maxHeap;

    public PriorityQueue(){
        maxHeap = new MaxHeap<>();
    }

    @Override
    public int getSize(){
        return maxHeap.size();
    }

    @Override
    public boolean isEmpty(){
        return maxHeap.isEmpty();
    }

    @Override
    public E getFront(){
        return maxHeap.findMax();
    }

    @Override
    public void enqueue(E e){
        maxHeap.add(e);
    }

    @Override
    public E dequeue(){
        return maxHeap.extractMax();
    }
}

堆排序

理解了优先队列，堆排序的逻辑十分简单。

第一步：让数组形成堆有序状态；

第二步：把堆顶的元素放到数组最末尾，末尾的放到堆顶，在剩下的元素中下沉到正确位置，重复操作即可。