（第一次蹭热点，有点紧张。）动态规划（Dynamic Programming，后文简称DP）可以说是面试中大家最头疼的问题之一了，动态规划本身又是很多大厂经常喜欢用的面试题。实际上，在竞赛算法问题中，动态规划是属于相当友好的问题，因为动态规划问题本身相对来说更依赖套路，需要变通和灵感的成分比较低。我们本篇文章给大家讲解一组硬币问题，借此帮助大家熟悉动态规划的“套路”，让你以后面试中能够更好地应对这类问题。 ## 第一题有数目不限的1分，2分，5分的硬币，现要凑齐1元钱，有多少种凑法。这个题是面试的经典题目，也是我非常喜欢用的一个题，它适合做面试题的原因是：它本身并不是完全依赖动态规划的题目，它有非常容易想到的平凡解法，这样，面试题就可以很好地提供区分度，不至于出现要么会要么不会的尴尬局面。首先我们看平凡解，最容易想到的就是暴力计数，通过三重循环，数一数有多少种凑法。代码如下： ```JavaScript let r = 0; for(let x = 0; x <= 100; x++) for(let y = 0; y <= 50; y++) for(let z = 0; z <= 20; z++) if(x + 2 * y + 5 * z === 100) ++r; console.log(r); //541 ``` 但是实际上这个平凡解，也有优化的空间，我们看，面值中有个非常特殊的值：`1`，这个`1`可以凑出任何数目的价值，而且有且仅有一种凑法，所以我们是否有必要针对这个1循环呢？答案当然是否定的。我们可以把代码这样写： ```JavaScript let r = 0; for(let y = 0; y <= 50; y++) for(let z = 0; z <= (100 - y * 2) / 5; z++) ++r; console.log(r); ``` 接下来，我们继续尝试优化这个平凡解，既然第二层循环，每次都必然加1，那么是否不需要循环，直接数出来呢？其实仔细看看这个循环，我们完全可以用除法搞定。最终代码如下： ```JavaScript let r = 0; for(let y = 0; y <= 50; y++) r += Math.floor((100 - y * 2) / 5) + 1; console.log(r); //541 ``` 到这个程度，其实平凡解优化已经接近极限了，但是，如果我们不考虑数据的特殊性，把它推广到任意面值的若干硬币，是否有好的解法呢？我们看看第二题。 ## 第二题推广有数目不限的硬币，其面值存储于数组values当中，现要凑齐价值n，问有多少种凑法。作为第一题的推广，把常量变成变量，我们就没办法利用数据的特殊性了。所有动态规划问题的一个通用思路，就是我们先把问题的规模缩小去思考，再考虑如何解决更大规模，一方面，我们可以通过解决小规模的问题，熟悉题目，积累经验，另一方面，小规模的问题的解，也可以作为更大规模问题的基础。那么，我们首先考虑，数组`values`长度为`1`的情况，我们只有一种硬币就是`values[0]`,我们再把n限定范围，如果`n`的值小于`values[0]`，那么显然就没有解，如果`n`的值等于`values[0]`，那么就有一种解。我们继续尝试扩大`n`的规模，我们不难发现`values[0]`的倍数，解为1，否则解为0. 好了，这个结论看上去像是废话，很显然，又好像没什么用。但其实它正是开启问题更大规模的钥匙。接下来我们看，假设数组`values`长度为`2`，会发生什么呢？ `values[0]`的情况我们已经讨论过了，接下来，我们看看`values[1]`，同样的套路，我们是否可以得出`values[1]`的倍数，都有1种解呢？等等，我们这里似乎遗漏了什么，前面我们已经得出结论`values[0]`的整数倍，已经有1种解了。这里我们需要跳出固有思维框架，考虑下“整数倍”这个结论是怎么来的。 `values[0]`的2倍，之所以有1种解，是在`values[0]`的1倍有1种解的基础上，加了一个`values[0]`得出来的。`values[0]`的3倍，之所以有1种解，是在`values[0]`的2倍有1种解的基础上，加了一个`values[0]`得出来的……以此类推。我们可以想象，`values[0]`的倍数，是从前一个"1种解"出发，不断以`values[0]`为步长，前往新节点。而对`values[1]`来说，场上已经有了若干"1种解"的节点，所以我们既可以从0出发，又可以从`values[0]`的倍数出发，以`values[1]`为步长前进。那么问题来了，如果出现了重合，怎么办呢？这时候，"1种解"的节点，就变成了'2种解'的节点。接下来，`values[2]`到`values[3]`就顺理成章了。我们用这个思路，给大家看一段动画演示(可以自行[修改参数](https://jsbin.com/kasodafifu/edit?html,js,output)查看)： https://output.jsbin.com/kasodafifu 最后我们写出代码： ```JavaScript function countCoins(values, n) { let table = new Array(n + 1).fill(0); table[0] = 1; for(let value of values) { for(let i = value; i <= n; i++) table[i] += table[i - value]; } return table[n]; } console.log(countCoins([1, 2, 5], 100)); //541 ``` ## 第三题约束有若干的硬币，其面值存储于数组coins当中，以对象{value:number, count:number}表示其面值和数量，现要凑齐价值n，问有多少种凑法好了，有了前面的基础，我们来看看，如果我们同时约束了硬币的数量，又该怎么解呢？最容易想到的当然是跟之前的思路一样，从0出发。但是代码写起来，我们就会发现一个问题，因为硬币数量有限制，当我们计算一个面值时，必须区分节点是否已经用过当前的面值，所以我们需要把之前的数组做一个快照。那么，有没有更好的办法呢？当然是，有。其实我们只要把循环变成倒序，那么更新后的节点就一定在身后，也就不用区分节点是否已经更新了。最后代码如下： ```JavaScript function countCoins(coins, n) { let table = new Array(n + 1).fill(0); table[0] = 1; for(let coin of coins) { let {value, count} = coin; for(let i = n; i >= 0; i--) if(table[i] > 0) for(let j = 1; j <= count && i + value * j <= n; j++) table[i + value * j] += table[i]; } return table[n]; } console.log(countCoins([ {value:1, count:100}, {value:2, count:50}, {value:5, count:20}], 100)); ``` ## 第四题变体现有一堆硬币，欲将其分为两堆，使得两堆的差值尽量小，求其最小差值。最后我们看看，这个硬币分堆问题。其实我们解决算法问题，在达到一定熟练度之后，往往难点并不在所谓的“动态规划”、“贪心”、“分治”等等的套路，而是在于对问题的抽象和理解。分为两堆，使得两堆的差值尽量小这个问题，其实跟凑钱问题并没有什么区别。一堆硬币总价值确定，那么分两堆其实就是凑一个值，剩下的就是另一堆。要两堆的差值尽量小，那么就是希望凑出来的值，尽量接近总价值的1/2。既然问题可以转换成凑钱问题，那么我们可以用第四题的套路，算出总价值的1/2以下的所有能凑出来的值，然后找出最接近总价值的1/2的节点即可。在上一题的基础上，我们几乎不用修改代码，就可以作为本题的答案。 ```JavaScript function countCoins(coins) { let total = ((coins) => { let r = 0; for(let coin of coins) { let {value, count} = coin; r += value * count; } return r; })(coins); let n = Math.floor(total / 2); let table = new Array(n + 1).fill(false); table[0] = true; for(let coin of coins) { let {value, count} = coin; for(let i = n; i >= 0; i--) if(table[i] > 0) for(let j = 1; j <= count && i + value * j <= n; j++) table[i + value * j] = true; } for(let i = n; i >= 0; i--){ if(table[i]) return total - 2 * i; } } console.log(countCoins([ {value:2, count:1}, {value:5, count:5}])); //3 ``` ## 思考题通过本文，大家应该已经学会了硬币问题的大概套路，但是本文所讲的问题，都只是计算了凑法，没有具体求出凑钱的方案，有兴趣的同学可以把这部分逻辑补充完，发到评论区大家一起交流。