毕业多年，曾经有同事问我该如何理解特征值的意义？

当时，实在羞愧，我一学数学的，真不知该如何回答。

极力回想，也只能以“特征值的求法、步骤...bla...bla...”应付了事，

答非所问，简直了得！

这样的答案教科书里写得清清楚楚，网上Google/百度一大堆，

人家问的是意义，如何理解其意义？

直扣灵魂，

我真的曾经理解过它的意义吗？？？

招了吧，真没有！

原在数学系时，教室里，对着黑板一堆密密麻麻的公式，我也是时常神游天外的主......

考试前，为了避免挂科才熬夜突击，对着书本一一比划，至少要演算两到三张稿纸，才能勉强记住方法、步骤，哪还管得着它的意义？

这种突击式的训练记忆，忘得也快，就像写代码一样，过一阵就忘了！

课堂上，老师大多是照本宣科。

当年，

也许是自己知识阅历不够，很难理解其意义，

也许是努力不够，被足球耽误了。

也许是天赋所致，不能顿悟！

...

总之，确定那时我肯定是没有理解它的意义的。

不知道现在有多少学生还是一样？

在学习一些抽象的数学工具时，代换三、四步之后就不知所云了，往往只能靠记忆强撑，而这种记忆最多维持一周，年轻时可能长点，后来，说忘就忘了......。

有极少数天才，能在抽象世界里面一直转，抽啊抽，一直抽......并最终以此为业。

而大多数人（99+%），一到毕业，就尴尬，因为真的不理解其意义，

看似学了一些高深的数学知识，只会做题，不会运用，根本不理解公式指代符号的现实映射！进而职场上，其它方面训练缺失的短板逐渐显现后，囧是必然！

我想，这不单是数学教育的问题，也是其它各方面可能会尴尬的本源：

不理解意义！

好，扯远了，回到正题，来看灵魂之问：

如何理解特征值的意义？

最近才有些感悟，和大家分享一下。

说到特征值 $\lambda$ ，数学上，基本上是指矩阵的特征值。

说到矩阵，高等代数几乎一整本书都在讲它，最著名的数学软件叫Matlab，直译为矩阵实验室，足见其高深、复杂！

而这么复杂混乱的东西确有一个特征值，难道不奇怪？

再说，矩阵到底有多复杂混乱？看数学公式体会一下吧：

这是一堆数，每一个数字都可以在实数域内取值（正、负、零）， $m或n$ 可以无限的延伸，联想到现在的大数据，还有什么东西不能由它表示呢？如果您相信万物皆数，这儿都可以说万物皆矩阵了，万物，能不复杂？

另外，这一堆数既可以表示数据记录，还可以表示某种不知名的抽象运算（物理上叫算子），这样的数学运算，对某些对象集，确仅仅以固有的方式伸缩，且不管它是数据记录还是抽象运算，全都一样！

如此混乱复杂！ 确有本征!

这不神奇吗？

数学就是这样，抽象、高级、有理！

如果这样说感觉虚玄，那么先来看一下它精确（枯燥）的

数学定义

：

特征值

设 $A$ 是一 $n \times n$ 矩阵， $\xi$ 是一 $n$ 维非零列向量，若存在一数 $\lambda$ ，使得

$A\xi=\lambda\xi$

则称 $\lambda$ 为 $A$ 的一个特征值， $\xi$ 为 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的一个特征向量。

展开 $A\xi=\lambda\xi$ ，即

若把矩阵的每一行理解为一个基向量 $\varepsilon_{i}$ ，则是表示基向量与该向量的内积 $（\varepsilon_{i}\bullet\xi）$ 等于 $\lambda x_{i}$ 。

感觉公式真的很枯燥的话，就先跳过上面吧。

下面我将从三个方面来试图阐释其意义，以便大家更好的理解。

几何上
医学上
物理上

（一）几何上

如果把矩阵理解为一个坐标系（不一定直角的，也可能是严重变形的“尺子”），有一类向量叫特征向量，其中的任一个向量，在该矩阵上的投影，都只是自身固定的伸缩！

如何理解投影呢？且拿三维来理解吧，一根射线在另外一个坐标系（矩阵）下的影子，其每一轴都会有投影分量，把所有分量组合还原成影子，跟其自身共线，影子和射线的长度比值永远固定，这个比值就是特征值，简如下图。

而该比值对这条直线上的所有向量都适应，即无论射线长短。那么有多少条这样的直线呢？ $n$ 维矩阵最多有 $n$ 条，每一条的比值（特征值）可能都不一样，有大有小，都代表这一维度的自身特征，故这里大、小意义就明显了。

大可以理解为该维度上尺子的单位刻度大，比如 $9$ 表示一个单位刻度
小可以理解为该维度上尺子的单位刻度小，比如 $0.1$ 表示一个单位刻度

(二) 医学上

如果把矩阵理解为中医祖传秘籍（乱不外传的），特征向量理解为秘方子（枸杞、百合、红花、童子尿...)，特征值就是对该方子的用药量，温、热、寒不同方子特征值不一样，这样也说得通，如下图！

进一步，把西药制成品也类比为特征向量。比如新冠治疗中的瑞得西韦， 特征值就是该神药该服用多少？还有其它药方子，如莲花清瘟等，假设都能治疗新冠肺炎，但用量肯定是不一样的，即不同特征向量对应的特征值不一。

如此看来，特征值可理解为医学上药物用量的一个刻度，也是中西医互相密而不宣的沟通桥梁，正如下图的 $\lambda_{0}$

(三) 物理上

“遇事不决，量子力学” 戏谑的表明了量子力学的高深、难懂！

且看薛定谔方程的前半部分，就复杂得都让人头晕眼花.....

物理学家把这种神操作统称为算子（因为给您解释不清楚~），是不是有点巫师作法、道士占卜的感觉？

不同的是那帮巫师(物理学家)，在圈内对不同公式符号都给出了互相认可的解释！

例如：量子力学把世界看成是波动的，如果一个波函数经过一个量子变换后，它仍是一同一个波函数乘一个常量(如上图C)。

......

再看矩阵，它不也就是一个算子吗？而且还是线性的，如此简单，so easy!

大巫师（物理学家）牛！

这样，特征值的意义又从矩阵的线性上升到非线性统一了。

还是大巫师（物理学家）牛~

总之，就是一段复杂的操作，统称为算子，特征值也叫算子的本征值，台湾人习惯这样称呼，同一个意思，英文词源其实来自德语(自身的)。

本来很好理解的概念，几经"转手"之后就晦涩难懂了....

遥想当年，若彼时能有这样的理解，就完美了！

想记这点感悟很久了，

若有缘遇上，能给您带来一点点共鸣，便是满足。

最后附上特征值的求法，以便大家回忆。

附：特征值求法

特征多项式

它是数域 $P$ 上的一个 $n$ 次多项式，若是复数域，必有 $n$ 个根。每一个根都是矩阵 $A$ 的一个特征值

求特征值与特征向量方法步骤

求出特征多项式 $|\lambda E-A|$ 的全部根
把所求根代入方程组 $[\lambda E -A]X=0$ 中求出一组基础解系，就得到属于相应特征值的线性无关的特征向量

数学之水，更多干货，敬请点击详查~

数学之水

本文使用 mdnice 排版